Analyse de l'énoncé : Maîtriser les bases du programme de Troisième

Cet exercice de type Vrai/Faux, issu de l'épreuve du Brevet 2014 (Métropole), est essentiel car il teste la polyvalence de l'élève sur quatre piliers du programme de fin de cycle 4 : les volumes, la géométrie analytique ou plane, le théorème de Pythagore et les fonctions affines. La clé de la réussite est de fournir une justification mathématique rigoureuse pour chaque affirmation.

Affirmation 1 : Le volume du prisme droit

Le solide est un prisme droit dont la base est un triangle rectangle (côtés de l'angle droit : 4 cm et 2 cm) et dont la hauteur est 7 cm. Le volume $V$ est donné par la formule : $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$.

• Calcul de l'aire de la base $B$: $B = (4 \times 2) / 2 = 4 \text{ cm}^2$.
• Calcul du volume $V$: $V = 4 \times 7 = 28 \text{ cm}^3$.

L'affirmation que le volume est $56 \text{ cm}^3$ est Fausse.

Affirmation 2 : Parallélisme dans un repère

Pour vérifier le parallélisme des droites (ML) et (NO) sur le quadrillage, la méthode la plus fiable est l'utilisation des coefficients directeurs (pentes), en considérant N comme l'origine (0, 0).

• Coordonnées : N(0, 0), O(7, 4), L(5, 0), M(7, 1).
• Coefficient directeur de (NO) : $m_{NO} = (4 - 0) / (7 - 0) = 4/7$.
• Coefficient directeur de (ML) : $m_{ML} = (1 - 0) / (7 - 5) = 1/2$.

Comme $4/7 \neq 1/2$, les droites ne sont pas parallèles. L'affirmation est Fausse.

Affirmation 3 : Diagonale d'un carré et Pythagore

Si l'aire du carré est $36 \text{ cm}^2$, alors le côté $c$ vérifie $c^2 = 36$, soit $c = 6$ cm. La diagonale $d$ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côtés 6 cm. Par le théorème de Pythagore : $d^2 = 6^2 + 6^2 = 72$. Donc $d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ cm}$. L'affirmation est Vraie.

Affirmation 4 : Antécédent par une fonction affine

Chercher l'antécédent de 0 par $f(x) = 3x + 5$ revient à résoudre l'équation $3x + 5 = 0$. On trouve $x = -5/3$. Toute fonction affine non constante ($3x+5$, avec $a=3\neq 0$) possède un unique antécédent pour toute image. L'affirmation est Vraie.

Points clés

• Formule du volume du prisme : $V = B \times H$. Attention à bien calculer l'aire de la base triangulaire ($B = b \times h / 2$).
• Pour prouver le parallélisme sur grille, utilisez les pentes ou la réciproque de Thalès.
• Retenez la relation fondamentale pour la diagonale d'un carré de côté $c$ : $d = c\sqrt{2}$.
• Un antécédent est la valeur de $x$ qui donne l'image demandée (résolution d'équation).