Analyse de l'énoncé et identification des solides
Cet exercice, classique dans la thématique des Volumes au Brevet, demande de calculer le volume d'un boudin de protection. La difficulté principale réside dans la reconnaissance du solide composé. Ce boudin est constitué :
- D'une partie centrale, qui est un cylindre de révolution.
- De deux extrémités, qui sont deux hémisphères (demi-boules). L'assemblage des deux hémisphères forme une sphère complète.
Nous devons donc calculer le volume du cylindre et celui de la sphère, puis les additionner pour obtenir le volume total. Les données fournies sont :
- La hauteur du cylindre (longueur) : $h = 50 \text{ cm}$.
- Le diamètre $AC$ de la base (et de la sphère) : $D = 16 \text{ cm}$.
Il est crucial de commencer par déterminer le rayon $R$ : $R = D / 2 = 16 / 2 = 8 \text{ cm}$.
Points clés et application des formules
Le volume total $V_{total}$ est donné par la somme des volumes : $V_{total} = V_{cylindre} + V_{sphère}$.
1. Calcul du volume du cylindre ($V_c$)
La formule est $V_c = \pi R^2 h$.
$$V_c = \pi \times 8^2 \times 50$$$$V_c = \pi \times 64 \times 50 = 3200\pi \text{ cm}^3$$
2. Calcul du volume de la sphère ($V_s$)
La formule est $V_s = \dfrac{4}{3}\pi R^3$. Attention à bien utiliser le rayon au cube.
$$V_s = \dfrac{4}{3} \pi \times 8^3$$$$V_s = \dfrac{4}{3} \pi \times 512 = \dfrac{2048}{3}\pi \text{ cm}^3$$
Calcul du volume exact et de l'arrondi
Volume exact : On additionne les deux résultats en laissant $\pi$ et en cherchant un dénominateur commun :
$$V_{total} = 3200\pi + \dfrac{2048}{3}\pi$$
On convertit $3200$ en tiers : $3200 = \dfrac{9600}{3}$
$$V_{total} = \left(\dfrac{9600}{3} + \dfrac{2048}{3}\right)\pi = \dfrac{11648}{3}\pi \text{ cm}^3$$
Arrondi au centième : Il faut remplacer $\pi$ par sa valeur approchée (environ 3,14159...).
$$V_{total} \approx \dfrac{11648}{3} \times \pi \approx 12197,800...$$
Arrondi au centième, le volume du boudin est de $12197,80 \text{ cm}^3$. Savoir manipuler les fractions et laisser $\pi$ pour le calcul exact est une compétence fondamentale évaluée dans cette partie du programme de 3ème.