Analyse de l'énoncé : Un QCM Vrai/Faux polyvalent

Cet exercice est typique des sujets du DNB, car il exige de l'élève une grande polyvalence en testant plusieurs notions fondamentales en un seul lieu : l'algèbre (fonctions), les calculs numériques (conversions) et la géométrie plane (Thalès et rotations). Il est crucial de justifier chaque affirmation avec rigueur pour obtenir tous les points.

Points clés et Correction Détaillée

Affirmation 1 : Calcul d'image par une fonction

La fonction est définie par $f(x) = 2(x - 3)$. Pour calculer l'image de 5, nous remplaçons $x$ par 5 :

• $f(5) = 2 imes (5 - 3)$
• $f(5) = 2 imes 2$
• $f(5) = 4$

L'image de 5 par la fonction $f$ est bien 4. Affirmation 1 : VRAIE.

Affirmation 2 : Conversions d'unités (Watts et Mégawatts)

Le parc compte 84 éoliennes produisant chacune $256\,000$ Watts. Calculons la production totale en Watts :

• Production totale (W) $= 84 imes 256\,000 = 21\,504\,000$ Watts.

Nous savons que 1 Mégawatt (MW) équivaut à $1\,000\,000$ Watts ($10^6$ W). Pour convertir la production totale en Mégawatts, nous divisons par $1\,000\,000$ :

• Production totale (MW) $= 21\,504\,000 / 1\,000\,000 = 21,504$ MW.

Ce résultat est environ $21,5$ MW. Affirmation 2 : VRAIE.

Affirmation 3 : Réciproque du Théorème de Thalès

Les droites (AD) et (CB) sont sécantes en E. Pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles, les rapports des longueurs issues du point d'intersection E doivent être égaux : $EA/ED = EB/EC$. Dans l'énoncé, nous supposons que $ES = EB$.

• Calcul du premier rapport : $EA/ED = 2,8 / 1,2 \approx 2,333$
• Calcul du second rapport : $EB/EC = 3,4 / 1,6 = 2,125$

Puisque $EA/ED eq EB/EC$, l'égalité des rapports n'est pas vérifiée. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Affirmation 3 : FAUSSE.

Affirmation 4 : Angle de rotation et polygones réguliers

Le pentagone est composé de 5 triangles isocèles identiques, centrés au point A. L'angle total autour du point A est $360$\degres{}. Pour trouver l'angle $\widehat{CAD}$, il suffit de diviser l'angle total par le nombre de triangles (5) :

• Angle de rotation = $360$\degres{} / 5 = $72$\degres{}.

L'angle de rotation qui transforme C en D est $72$\degres{}, et non $60$\degres{}. Affirmation 4 : FAUSSE.