Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu de la session 2020 aux Antilles et en Guyane, est un excellent récapitulatif des notions de fin de cycle 4. Il est découpé en deux parties distinctes : les questions 1 et 2 testent la maîtrise des transformations géométriques (symétrie centrale, rotation et translation) dans le contexte de motifs et de pavages. La question 3 effectue un pivot vers l'Arithmétique, demandant l'application de la notion de diviseur commun pour résoudre un problème pratique de revêtement de surface.

Pour réussir, l'élève doit être capable de visualiser l'effet des transformations sur une figure complexe, puis de traduire les contraintes de pavage en termes mathématiques (divisibilité).

Points clés sur les Transformations (Q1 et Q2)

• Symétrie Centrale (Q1a) : Le centre O est le point d'intersection des diagonales du carré. L'image par symétrie centrale est la figure opposée (dans le carré ABCD). Le polygone ① est opposé au polygone ③.
• Rotation (Q1b) : La rotation de centre O qui transforme ① en ② est une rotation d'angle $90^\circ$ (sens horaire ou anti-horaire selon le repère implicite). L'application de cette même rotation au polygone ④ donne le polygone ①.
• Translation (Q2) : Le passage du polygone ① au polygone ⑤ dans le pavage s'effectue par une translation. Le vecteur de cette translation est horizontal, égal à la longueur d'un côté du carré ABCD. C'est une translation de vecteur $\vec{AB}$.

Points clés sur l'Arithmétique (Q3)

Le succès du pavage impose que le côté du carré ($c$) divise à la fois la longueur du tissu (315 cm) et sa largeur (270 cm). On cherche donc un diviseur commun.

• Vérification de la divisibilité (Q3a) : Pour montrer que 9 cm est un côté possible, on vérifie que 315 et 270 sont divisibles par 9. On utilise les critères de divisibilité (somme des chiffres : $3+1+5=9$, $2+7+0=9$) ou la division euclidienne : $315 \div 9 = 35$ et $270 \div 9 = 30$. Le choix est valide.
• Calcul du nombre de carrés (Q3b) : Le nombre total de carrés est le produit du nombre de carrés sur la longueur et du nombre de carrés sur la largeur. Total = (Longueurs / Côté) $ imes$ (Largeur / Côté). Soit $35 imes 30 = 1050$. Ce type de calcul vérifie l'aptitude à utiliser les résultats des diviseurs dans un contexte concret de dénombrement.