Introduction aux Fonctions et Modélisation du Réel

Cet exercice issu du Brevet 2019 (Nouvelle-Calédonie) est un pilier du programme de mathématiques de 3ème. Il traite de la modélisation de situations concrètes à travers les fonctions linéaires, affines et constantes. L'objectif est de comparer trois offres tarifaires pour des travaux de peinture, une thématique qui mobilise les grandeurs composées et le calcul numérique. Maîtriser ce chapitre est crucial car il représente souvent une part importante des points lors de l'examen final.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Vérification des Tarifs pour une Surface Fixe

La première étape consiste à tester la compréhension des énoncés textuels. Pour une surface de 40 m², on applique les règles de calcul simples. Pour le Peintre A, il s'agit d'une proportionnalité directe : $1500 \times 40 = 60000$ F. Pour le Peintre B, on ajoute une part fixe (l'installation) à la part variable : $(1000 \times 40) + 10000 = 50000$ F. Enfin, le Peintre C propose un forfait unique de 70000 F. Cette question permet de poser les bases avant la modélisation algébrique.

2. Modélisation Algébrique de l'Offre B

On demande ici d'exprimer le prix en fonction de $x$, l'aire des murs. C'est l'essence même d'une fonction affine. La structure est toujours de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur (le prix au m²) et $b$ l'ordonnée à l'origine (les frais fixes). Ici, le prix proposé par le peintre B est $1000x + 10000$. Il est impératif pour l'élève de bien identifier que $x$ ne multiplie que le prix unitaire et non la taxe d'installation.

3. Étude Approfondie de la Fonction A

La fonction $A(x) = 1500x$ est une fonction linéaire. Elle traduit une situation de proportionnalité.
a. Nature : Puisqu'elle est de la forme $ax$, c'est une fonction linéaire dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine.
b. Image de 60 : Calculer l'image revient à remplacer $x$ par 60 : $A(60) = 1500 \times 60 = 90000$.
c. Antécédent de 30000 : Ici, on cherche $x$ tel que $A(x) = 30000$. On résout l'équation $1500x = 30000$, ce qui donne $x = 30000 / 1500 = 20$.
d. Représentation graphique : Pour tracer cette droite, on utilise l'origine (0;0) et un point calculé précédemment, comme (20; 30000) ou (60; 90000).

4. Résolution d'Équation et Interprétation

L'équation $1500x = 1000x + 10000$ cherche à déterminer pour quelle surface $x$ le tarif du Peintre A est strictement égal à celui du Peintre B.
En isolant les $x$ : $1500x - 1000x = 10000 \Rightarrow 500x = 10000 \Rightarrow x = 20$.
Interprétation : Pour une surface exacte de 20 m², les deux peintres facturent le même montant (30 000 F). C'est le point d'intersection des deux représentations graphiques.

5. Lecture Graphique et Comparaison d'Offres

Cette compétence est fondamentale : savoir lire un graphique pour prendre une décision économique. On cherche l'intervalle où la droite du Peintre B est située *en dessous* des deux autres (A et C). En observant attentivement les intersections, on remarque que le Peintre B devient moins cher que le Peintre A après 20 m² et reste moins cher que le Peintre C jusqu'à 60 m². L'intervalle recherché se situe donc entre 20 m² et 60 m².

Les Pièges à Éviter

Attention aux unités : ici nous sommes en Francs CFP (Nouvelle-Calédonie), mais la logique mathématique reste identique à l'Euro. Le piège classique réside dans l'échelle du graphique : chaque carreau en ordonnée représente 10 000 F et en abscisse 5 m². Une erreur de lecture ici fausse toute la dernière question. Ne confondez pas non plus image (on cherche $y$) et antécédent (on cherche $x$).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points : 1. Citez toujours la nature de la fonction (ex: "A est une fonction linéaire car elle est de la forme $ax$"). 2. Montrez vos étapes de calcul pour les équations. 3. Pour la lecture graphique, faites apparaître les pointillés de lecture sur votre copie pour prouver votre raisonnement à l'examinateur.