Analyse de l'énoncé et Contexte Arithmétique

Cet exercice, tiré du Brevet des Collèges 2020 en Nouvelle-Calédonie, est un excellent récapitulatif des fondamentaux de l'arithmétique, un chapitre essentiel en classe de Troisième. Il balaye la divisibilité, la décomposition en produits de facteurs premiers (DDPFP), l'identification des diviseurs, avant de culminer avec une application concrète du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) dans un problème de découpe.

Points clés de la Partie 1 : Les Nombres Premiers et la Divisibilité

• Justification de la Divisibilité par 3 : On rappelle ici la règle fondamentale : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Pour 102 (1+0+2=3), cette règle s'applique directement.
• Décomposition en Facteurs Premiers (DDPFP) : La DDPFP est l'outil central de l'arithmétique. Connaître la décomposition de 85 ($5 \times 17$) aide à structurer celle de 102. La méthode consiste à tester les diviseurs premiers dans l'ordre croissant (2, 3, 5, 7, etc.). Pour 102, on obtient $2 \times 3 \times 17$.
• Trouver des Diviseurs non Premiers : Une fois la DDPFP connue, il suffit de multiplier les facteurs premiers entre eux pour obtenir tous les diviseurs. Tout produit d'au moins deux facteurs (autres que les facteurs premiers eux-mêmes) donne un diviseur non premier (exemples : $2\times 3 = 6$, $2\times 17 = 34$, $3\times 17 = 51$).

Points clés de la Partie 2 : Application du PGCD aux Problèmes de Découpe

Le second volet utilise les concepts arithmétiques pour résoudre un problème géométrique classique : découper des carrés identiques dans un rectangle (85 cm sur 102 cm) sans chute. La contrainte principale est que la longueur du côté du carré doit être un diviseur commun aux deux dimensions (85 et 102).

• Vérification de Divisibilité (Question 4) : Pour savoir si des étiquettes de 34 cm sont possibles, on vérifie si 34 divise à la fois 85 et 102. Puisque 34 ne divise pas 85 (car $85 = 5 \times 17$, et 34 contient 2), cette taille est impossible.
• Calcul du Nombre d'Étiquettes (Question 5) : Lorsque le côté choisi est 17 cm, on doit déterminer le nombre d'étiquettes sur la longueur (102 cm) et sur la largeur (85 cm). Ce calcul est simplement le quotient des dimensions par le côté choisi. Sur la largeur : $85 \div 17 = 5$ étiquettes. Sur la longueur : $102 \div 17 = 6$ étiquettes. Le nombre total est le produit des deux résultats ($5 \times 6 = 30$). Notez que 17 est le PGCD de 85 et 102, ce qui signifie que 17 est la taille maximale possible pour les étiquettes carrées.