Analyse de l'énoncé et Rappels Théoriques

Cet exercice du Brevet 2020 (Antilles-Guyane) combine trois piliers des mathématiques de Troisième : Probabilités, Arithmétique et Algorithmique. L'expérience aléatoire consiste en deux tirages indépendants : une boule de l'urne bleue (UB) contenant {2, 3, 4} et une boule de l'urne rouge (UR) contenant {2, 3, 4, 5}. Le nombre total d'issues possibles et équiprobables est de $3 imes 4 = 12$.

Résolution Détaillée des Questions

1. Étude des Événements et Probabilités

1.a) Possibilité :

• L'événement « Obtenir deux nombres premiers » est possible. Les nombres premiers dans les urnes sont {2, 3} (bleue) et {2, 3, 5} (rouge). Par exemple, le tirage (2 ; 3) est favorable.
• L'événement « La somme des deux nombres est égale à 12 » est impossible. Le tirage offrant la somme maximale est (4 ; 5), soit une somme de 9. Puisque $9 < 12$, la somme de 12 ne peut jamais être atteinte.

1.b) Probabilité d'obtenir deux nombres premiers :
Soit $P(B_P)$ la probabilité de tirer un nombre premier dans l'urne bleue (2/3) et $P(R_P)$ la probabilité de tirer un nombre premier dans l'urne rouge (3/4). Les tirages étant indépendants : $P( ext{Deux premiers}) = P(B_P) imes P(R_P) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

2. Justification de la Probabilité d'un « double »

Un « double » se produit lorsque les numéros tirés sont identiques. Les issues favorables parmi les 12 possibles sont : (2 ; 2), (3 ; 3), et (4 ; 4). Il y a 3 issues favorables.
La probabilité est donc : $P( ext{Double}) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. La justification est ainsi établie.

3. Algorithmique et Simulation

Cette partie porte sur la simulation de l'expérience 1000 fois pour estimer la fréquence d'apparition des « doubles ».

3.a) Remplacement des lettres :

• A : Nombre de répétitions (nombre d'essais total) $ ightarrow 1000$.
• B : Numéro maximum dans l'urne bleue $ ightarrow 4$.
• C : Numéro maximum dans l'urne rouge $ ightarrow 5$.

3.b) et 3.c) Placement des blocs :
Le bloc d'initialisation mettre Nombre de doubles à 0 (3.c) doit être placé avant la boucle répéter. Le bloc Tirer deux boules (3.b) doit être placé à l'intérieur de la boucle répéter, juste avant la condition si Boule bleue = Boule rouge.

3.d) Calcul de la fréquence :
La fréquence est le rapport entre le nombre de succès (doubles) et le nombre total d'essais (1000). Il faut choisir la Proposition \textcircled{2}: dire Nombre de doubles / 1000.