Introduction aux notions clés du Brevet 2022

L'exercice 4 du sujet de Brevet Amerique du Nord 2022 est un classique incontournable qui croise deux thématiques majeures du cycle 4 : l'algorithmique (Scratch) et les probabilités. Dans cette épreuve, le candidat doit démontrer sa capacité à interpréter un script de programmation par blocs et à modéliser une situation d'aléatoire simple. L'objectif est de comprendre comment un logiciel de programmation peut simuler un jeu de hasard et comment traduire ces instructions en calculs de probabilités théoriques.

Analyse détaillée de l'algorithme Scratch

Le programme principal utilise une boucle répéter 3 fois. À chaque itération, le lutin choisit de dessiner soit une croix, soit un rectangle. Ce choix est déterminé par une instruction conditionnelle si ... alors ... sinon basée sur la génération d'un nombre aléatoire entre 1 et 2. Si le nombre est 1, la condition est vraie (croix), sinon elle est fausse (rectangle).

Question 1 : Construction géométrique et échelle

La première question demande de représenter le motif du bloc rectangle. C'est un exercice de géométrie appliquée. Le script indique deux répétitions de : avancer de 60 pas, tourner de 90°, avancer de 80 pas, tourner de 90°. Cela définit un rectangle de 60 sur 80 pas. Avec l'échelle donnée de $1 \text{ cm}$ pour $20 \text{ pas}$, les dimensions sur la copie doivent être :
- Longueur : $80 / 20 = 4 \text{ cm}$
- Largeur : $60 / 20 = 3 \text{ cm}$.
Il est crucial de respecter l'angle droit et la précision du tracé au stylo.

Question 2 : Calcul de la distance entre motifs

La distance $d$ entre deux motifs dépend de l'instruction avancer de 100 pas située à la fin de la boucle. Le lutin commence le tracé du premier motif, puis avance de 100 pas à partir du point de départ du motif précédent. Si le motif (le rectangle) a une largeur de $60 \text{ pas}$, la distance séparant la fin du premier rectangle et le début du second est de $100 - 60 = 40 \text{ pas}$. Cette compréhension de l'incrémentation spatiale est fondamentale en programmation graphique.

Question 3 & 5 : Probabilités et dénombrement

La probabilité d'obtenir une croix au premier tirage est de $\frac{1}{2}$ car il y a deux issues équiprobables (1 ou 2). Pour l'ensemble du jeu, comme il y a 3 tirages successifs avec 2 issues à chaque fois, le nombre total d'affichages possibles est de $2 \times 2 \times 2 = 8$. Les 8 combinaisons sont : (C,C,C), (C,C,R), (C,R,C), (R,C,C), (R,R,C), (R,C,R), (C,R,R), (R,R,R). Le joueur gagne si les trois motifs sont identiques, soit les issues (C,C,C) et (R,R,R). La probabilité de gagner est donc de $\frac{2}{8}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{4}$ ou $0,25$ (soit 25% de chances).

Question 6 : Modification de la loi de probabilité

On souhaite maintenant que le rectangle ait deux fois plus de chances de sortir que la croix. On passe d'une situation d'équiprobabilité à une probabilité pondérée. Pour avoir 2 chances pour le rectangle contre 1 pour la croix, il faut 3 issues au total. On modifie l'instruction ainsi : nombre aléatoire entre 1 et 3. Si le nombre est égal à 1, on dessine la croix. Si le nombre est 2 ou 3 (deux chances), on dessine le rectangle. L'instruction complétée est : nombre aléatoire entre 1 et 3 = 1.

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. Confusion sur l'échelle : Ne pas confondre les pas et les centimètres. Vérifiez toujours votre conversion avant de tracer.
2. Oubli d'issues : Dans le dénombrement de la question 4, procédez avec méthode (arbre de probabilité) pour ne pas oublier de combinaisons.
3. Mauvaise lecture du bloc 'avancer' : Attention, l'avancement de 100 pas se fait depuis le point d'origine du motif, pas depuis la fin du tracé du motif précédent.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Même si l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue pour certaines questions, il est recommandé sur votre brouillon de poser les calculs (comme $2^3=8$). Pour la question 6, recopiez soigneusement les cases du logiciel Scratch en respectant la forme des blocs (ovales pour les nombres, hexagones pour les conditions booléennes). La clarté de votre schéma à main levée pour les 8 affichages facilitera également la lecture du correcteur et vous évitera des erreurs de doublons.