Analyse de l'énoncé et Contexte DNB

Cet exercice est un grand classique du Brevet des Collèges (DNB). Il aborde trois notions fondamentales de la classe de 3ème : les Programmes de calculs, la traduction de ceux-ci en Calcul littéral, et la recherche d'égalité par la résolution d'une Équation. L'énoncé est structuré en deux parties : l'application numérique (Questions 1 et 2) et la généralisation algébrique (Questions 3, 4 et 5).

Partie 1 : Application numérique (Substitution)

Les premières questions vérifient la bonne compréhension de l'ordre des opérations dicté par le programme. Quand Alice choisit 4 pour le Programme A, elle effectue d'abord la soustraction : $4 - 5 = -1$, puis la multiplication par le nombre de départ : $-1 \times 4 = -4$. Le résultat est bien celui attendu.

Pour Lucie (Programme B avec $-3$), elle doit d'abord mettre au carré : $(-3)^2 = 9$. Ensuite, elle soustrait 4 : $9 - 4 = 5$. Le résultat obtenu est 5.

Partie 2 : Du Programme de calcul au Calcul littéral

La clé de l'exercice est de remplacer le choix du nombre par la variable $x$.

• Programme A (Question 3) : On choisit $x$. On soustrait 5 ($x - 5$). On multiplie le résultat par le nombre de départ ($x$). L'expression est $x \times (x - 5)$. En développant, on obtient bien $x^2 - 5x$.
• Programme B (Question 4) : On choisit $x$. On met au carré ($x^2$). On soustrait 4 au résultat. L'expression est $x^2 - 4$.

Partie 3 : Résolution d'Équations

Tom cherche un nombre $x$ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat. Il faut donc poser et résoudre l'équation : $x^2 - 5x = x^2 - 4$.

Pour résoudre cette équation, on peut simplifier en soustrayant $x^2$ des deux côtés de l'égalité. L'équation devient alors une simple équation du premier degré : $-5x = -4$.

En divisant par $-5$, on obtient $x = rac{-4}{-5}$, soit $x = rac{4}{5}$ ou $x = 0,8$. Le nombre que Tom cherche est 0,8.

Points clés à retenir pour le Brevet

• Priorité : Respectez scrupuleusement l'ordre des opérations (parenthèses, puissances) lors de l'application numérique.
• Traduction : Savoir traduire une instruction verbale (ex: « multiplier par le nombre de départ ») par une expression algébrique (ex: $\times x$).
• Simplification : Les équations qui semblent complexes (avec $x^2$) peuvent souvent être simplifiées pour devenir des équations linéaires faciles à résoudre.