Introduction aux fondamentaux du Brevet : Arithmétique, Racines et Pourcentages

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2016 de la zone Asie, est un modèle de logique mathématique. Il ne se contente pas de tester des capacités de calcul, mais évalue la capacité de l'élève à raisonner par l'affirmation, la preuve et le contre-exemple. Les thèmes abordés — l'arithmétique, les racines carrées (calcul numérique) et les évolutions de pourcentages — constituent le socle du programme de troisième. Maîtriser ces notions est indispensable pour garantir une note d'excellence le jour de l'examen national. Dans cette analyse détaillée, nous allons décortiquer chaque affirmation pour comprendre la rigueur attendue par les correcteurs.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : Arithmétique et Nombres Premiers

L'affirmation 1 énonce : « Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. » Pour valider ou invalider cette proposition, il faut revenir à la définition fondamentale de nombres premiers entre eux. Deux entiers sont dits premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) est égal à 1. Cela signifie qu'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Analysons le raisonnement : Un nombre impair est un entier qui n'est pas divisible par 2. On pourrait être tenté de croire qu'en évitant le diviseur 2, ces nombres limitent leurs diviseurs communs. Cependant, en arithmétique, une affirmation universelle (« toujours ») est invalidée dès lors que l'on trouve un seul contre-exemple. Considérons les nombres 9 et 15. Ils sont tous les deux impairs. Pourtant, ils sont tous deux divisibles par 3. Leur PGCD est donc au moins égal à 3, ce qui prouve qu'ils ne sont pas premiers entre eux. L'affirmation est donc Fausse.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Les Propriétés des Racines Carrées

L'affirmation 2 porte sur une confusion classique en calcul numérique : $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$. Il s'agit ici de tester la connaissance des propriétés opératoires des radicaux. En classe de troisième, on apprend que la racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées ($\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$), mais cette propriété ne s'étend absolument pas à l'addition.

Pour le démontrer, utilisons des carrés parfaits simples comme contre-exemple. Soient $a = 9$ et $b = 16$. D'une part, calculons le membre de gauche : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. D'autre part, calculons le membre de droite : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Puisque $7 \neq 5$, l'égalité est fausse pour ces valeurs. Cette démonstration par l'absurde suffit à prouver que l'affirmation est Fausse de manière générale. Il est crucial de retenir que l'addition sous la racine ne se « sépare » jamais.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 3 : Évolutions de Pourcentages Successives

L'affirmation 3 aborde les pourcentages : « Si on augmente le prix d'un article de 20%, puis de 30%, alors le prix total a augmenté de 56%. » C'est le piège classique où beaucoup d'élèves additionnent les pourcentages (20 + 30 = 50). Or, les pourcentages s'appliquent sur des valeurs intermédiaires.

La méthode la plus rigoureuse consiste à utiliser les coefficients multiplicateurs. Une augmentation de 20% correspond à un coefficient $C_1 = 1 + \frac{20}{100} = 1,2$. Une augmentation de 30% correspond à un coefficient $C_2 = 1 + \frac{30}{100} = 1,3$. Pour obtenir l'augmentation globale, on multiplie ces coefficients : $C_{total} = 1,2 \times 1,3 = 1,56$. Pour retrouver le pourcentage final, on effectue l'opération inverse : $(1,56 - 1) \times 100 = 56\%$. L'affirmation est donc Vraie. Ce résultat surprend souvent car l'augmentation globale est supérieure à la somme arithmétique des hausses.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le premier piège dans ce type d'exercice « Vrai/Faux » est de répondre sans justifier. Même si votre réponse est correcte, une absence de justification entraîne systématiquement la perte des points. Voici quelques conseils pour votre rédaction :
1. Pour prouver qu'une affirmation est Fausse, un seul contre-exemple numérique bien choisi suffit.
2. Pour prouver qu'une affirmation est Vraie, vous devez utiliser une propriété de cours ou un calcul généralisé (comme nous l'avons fait avec les coefficients multiplicateurs).
3. Attention à la confusion entre les propriétés de multiplication et d'addition pour les puissances et les racines carrées. Ce sont les erreurs les plus fréquentes au Brevet.

Conseils pour Réussir l'Épreuve de Mathématiques

Lors de l'examen, commencez par lire l'intégralité du sujet. L'exercice 6 de la session Asie 2016 est un excellent moyen de gagner des points rapidement si l'on connaît ses définitions. Ne passez pas trop de temps sur une question si vous bloquez sur le contre-exemple ; passez à la suivante et revenez-y plus tard. En arithmétique, testez toujours les petits nombres premiers (2, 3, 5, 7) pour vos tests de divisibilité. En pourcentage, gardez en tête que l'augmentation d'une augmentation est toujours plus forte que la somme des deux.