Analyse de l'énoncé et Enjeux Mathématiques
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité, notamment en ce qui concerne la modélisation de situations réelles à l'aide de fonctions par morceaux (algorithmie) et la maîtrise des conversions d'unités de temps et de vitesse. La problématique repose sur l'application de conditions logiques : le calcul de la vitesse retenue dépend d'un seuil critique de 100 km/h, ce qui s'apparente à une structure conditionnelle Si... Alors... Sinon....
Points de vigilance et Notions Clés
- Conversion du temps : La gestion des durées en minutes et secondes pour les transformer en heures décimales est la source d'erreur principale. Rappel : $t_{heures} = \frac{secondes}{3600}$.
- Calcul de vitesse moyenne : Application rigoureuse de la formule $v = \frac{d}{t}$.
- Modélisation du Document 2 : Comprendre qu'une baisse de 5% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $0,95$, alors qu'en dessous de 100 km/h, il s'agit d'une soustraction constante.
Correction Détaillée
1. Cas de Madame Surget : Sa vitesse enregistrée est de $107$ km/h. Comme $107 > 100$, on applique une diminution de 5%. Vitesse retenue = $107 \times 0,95 = 101,65$ km/h.
2. Cas de Monsieur Lagarde : La distance $d = 3,2$ km est parcourue en $2$ minutes. En heures, $t = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ h. La vitesse moyenne est $v = \frac{3,2}{1/30} = 3,2 \times 30 = 96$ km/h. Comme $96 < 100$, on enlève 5 km/h. Vitesse retenue = $96 - 5 = 91$ km/h. (Il reçoit une contravention car $91 > 90$).
3. Cas de Monsieur Durand : Calculons la durée du trajet. De 13h 46min 54s à 13h 48min 41s, il s'écoule 1 minute et 47 secondes. Soit $t = 60 + 47 = 107$ secondes. En heures : $t = \frac{107}{3600}$ h. Sa vitesse moyenne est $v = \frac{3,2}{107/3600} = \frac{3,2 \times 3600}{107} \approx 107,66$ km/h. Puisque $v > 100$, la vitesse retenue est $107,66 \times 0,95 \approx 102,28$ km/h. Cette vitesse étant supérieure à la limite de 90 km/h, Monsieur Durand reçoit une contravention.