Analyse de l'énoncé

Cet exercice du Brevet 2022 (Polynésie) est un excellent entraînement puisqu'il balaie quatre notions essentielles du programme de 3ème : le calcul numérique (fractions), la géométrie (Théorème de Thalès), l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers) et les proportions (ratios). Chaque affirmation demande une justification rigoureuse pour déterminer si elle est vraie ou fausse, encourageant la maîtrise des fondamentaux.

Correction détaillée et Points clés

Affirmation 1 : Calcul numérique (Fractions)

L'affirmation porte sur le calcul de l'expression $A = - \dfrac75 + \dfrac65 \times \dfrac47$. La règle de priorité des opérations impose d'effectuer la multiplication avant l'addition/soustraction.

1. Multiplication : $\dfrac65 \times \dfrac47 = \dfrac{24}{35}$.
2. Addition : $A = - \dfrac75 + \dfrac{24}{35}$. Mise au même dénominateur (35) : $A = - \dfrac{49}{35} + \dfrac{24}{35} = - \dfrac{25}{35}$.
3. Simplification : En divisant par 5, on obtient $- \dfrac{5}{7}$.

Puisque $- \dfrac{5}{7} \neq - \dfrac{4}{35}$, l'Affirmation 1 est Fausse.

Affirmation 2 : Géométrie (Réciproque du Théorème de Thalès)

Pour vérifier si les droites (GE) et (MR) sont parallèles (configuration papillon), nous comparons les rapports des longueurs $AG/AR$ et $AE/AM$.

• $AG / AR = 9,8 / 7 = 1,4$
• $AE / AM = 4,2 / 3 = 1,4$

Les rapports sont égaux. De plus, les points G, A, R et E, A, M sont alignés dans le même ordre. Les conditions de la réciproque du théorème de Thalès sont remplies. Les droites sont parallèles. L'Affirmation 2 est Vraie.

Affirmation 3 : Arithmétique (Décomposition en facteurs premiers)

Une décomposition en facteurs premiers doit n'utiliser que des nombres premiers. La proposition $2 \times 7 \times 9$ contient 9, qui n'est pas premier ($9=3^2$). La décomposition correcte de 126 est $2 \times 3^2 \times 7$. L'Affirmation 3 est Fausse.

Affirmation 4 : Proportionnalité (Ratios)

Le ratio total est $1 + 3 + 7 = 11$ parts. Pour 330 mL de sauce totale, la valeur d'une part est $330 \text{ mL} / 11 = 30 \text{ mL}$. L'huile représente 7 parts, soit $7 \times 30 \text{ mL} = 210 \text{ mL}$. L'Affirmation 4 est Vraie.