Introduction : Un classique du Brevet Pondichéry 2016

Le sujet de Mathématiques du Brevet de Pondichéry est souvent scruté par les élèves de France métropolitaine, car il donne le ton des épreuves de juin. L'exercice 4 de la session 2016 est un modèle du genre. Mêlant habilement géométrie spatiale (modélisée en 2D) et calcul de grandeurs réelles, il sollicite des compétences clés du cycle 4. Nous allons aborder ici trois piliers du programme : le Théorème de Pythagore, le Théorème de Thalès et la gestion des grandeurs composées.

Analyse de l'énoncé et modélisation

Le problème nous présente un plan de vol $ABCDEF$. Avant de se lancer dans les calculs, une lecture attentive des données est impérative. On nous donne des segments comme $AF = 12,5$ km et $AB = 6$ km. La mention de rectangles comme $ABCH$ et $ABGF$ est cruciale : elle nous indique la présence d'angles droits, conditions sine qua non pour utiliser la trigonométrie ou Pythagore. De même, le parallélisme $(DE) // (CF)$ est l'indicateur immédiat qu'une configuration de Thalès est présente.

Étape 1 : Calcul de la longueur BC avec Pythagore

Pour vérifier que le parcours total mesure 21 km, nous devons calculer chaque segment manquant. Commençons par $BC$. Dans le rectangle $ABCH$, l'angle $\widehat{ABC}$ est droit. Nous travaillons donc dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
En remplaçant par les valeurs : $7,5^2 = 6^2 + BC^2$, soit $56,25 = 36 + BC^2$.
On en déduit $BC^2 = 56,25 - 36 = 20,25$.
Ainsi, $BC = \sqrt{20,25} = 4,5$ km.

Étape 2 : Configuration de Thalès pour DE et CD

C'est ici que l'exercice se corse. Nous savons que $ABGF$ est un rectangle, donc $GF = AB = 6$ km. On nous donne $EF = 750$ m. Attention au piège des unités ! Il faut convertir immédiatement : $EF = 0,75$ km. On peut alors trouver $GE = GF - EF = 6 - 0,75 = 5,25$ km.
Dans le triangle $GCF$, les points $G, D, C$ sont alignés ainsi que $G, E, F$. Comme $(DE) // (CF)$, nous appliquons le théorème de Thalès :
$\frac{GD}{GC} = \frac{GE}{GF} = \frac{DE}{CF}$
En utilisant $\frac{GE}{GF} = \frac{5,25}{6} = 0,875$, on peut calculer :
1. $DE = CF \times 0,875 = 10 \times 0,875 = 8,75$ km.
2. $GC = \frac{GD}{0,875} = \frac{7}{0,875} = 8$ km. Sachant que $CD = GC - GD$, on a $CD = 8 - 7 = 1$ km.

Étape 3 : Somme des segments et consommation

Le parcours total est $AB + BC + CD + DE + EF$. Sommons les valeurs trouvées : $6 + 4,5 + 1 + 8,75 + 0,75 = 21$ km. La première partie de la question est validée.
Pour la question 2, nous entrons dans le domaine des grandeurs composées. L'hélicoptère consomme $1,1$ L/km. Pour $21$ km, la consommation réelle sera : $21 \times 1,1 = 23,1$ Litres. L'inspecteur G. affirme que $20$ L suffiront. Le verdict est sans appel : le pilote ne doit pas avoir confiance en l'inspecteur G., car il risque la panne sèche avant l'arrivée.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'unité de $EF$ (750 m). Mélanger des mètres et des kilomètres dans une égalité de Thalès fausserait tout le résultat. Le second piège est de ne pas identifier correctement les triangles rectangles ou les parallèles. Dans cet exercice, la vision dans l'espace est simplifiée par les données textuelles (mention des rectangles), il faut s'appuyer sur le texte autant que sur la figure.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez toujours le triangle dans lequel vous travaillez.
2. Citez explicitement le théorème utilisé ("D'après le théorème de...").
3. Précisez les conditions d'application (triangle rectangle pour Pythagore, droites parallèles pour Thalès).
4. Encadrez vos résultats intermédiaires avec leurs unités. Une réponse sans unité est souvent pénalisée par les correcteurs du Brevet.