Introduction aux notions de l'exercice : Volumes et Proportionnalité

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2016 (Zone Asie) est un grand classique des épreuves de mathématiques de 3ème. Il mobilise trois compétences fondamentales du cycle 4 : la gestion des grandeurs composées, la maîtrise de la proportionnalité et le calcul de volumes géométriques. L'objectif est ici de résoudre un problème concret de la vie quotidienne : vérifier si un récipient de forme hémisphérique peut contenir une quantité de liquide proportionnellement augmentée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Pour réussir cet exercice, il convient de procéder par étapes successives, en isolant les difficultés. Nous allons décomposer le raisonnement en quatre phases majeures.

1. Calcul de la quantité totale de cocktail pour 6 personnes

Avant de s'occuper des 20 invités, il faut déterminer le volume total de la recette initiale donnée dans le Document 1. Le document liste les ingrédients pour 6 personnes en centilitres (cl) :
- Jus de mangue : $60$ cl
- Jus de poire : $30$ cl
- Jus de citron vert : $12$ cl
- Sirop de cassis : $12$ cl

Le volume total pour 6 personnes est donc la somme de ces quantités : $V_{6} = 60 + 30 + 12 + 12 = 114$ cl.

2. Application de la proportionnalité pour 20 personnes

Romane veut préparer ce cocktail pour 20 personnes. Puisque les quantités d'ingrédients sont proportionnelles au nombre de personnes, nous devons appliquer un coefficient d'agrandissement. Deux méthodes s'offrent à l'élève :
Méthode du coefficient : On cherche le rapport $\frac{20}{6} \approx 3,33$. On multiplie ensuite 114 cl par ce rapport.
Méthode de la règle de trois : On pose le calcul suivant : $V_{20} = \frac{114 \times 20}{6}$.
Calculons : $114 / 6 = 19$. Puis $19 \times 20 = 380$. Le volume total nécessaire pour 20 personnes est donc de $380$ cl.

3. Conversion des unités de volume

C'est ici que de nombreux élèves perdent des points. Le volume du récipient sera calculé en cm³, alors que notre cocktail est en cl. Il est impératif d'utiliser les rappels fournis dans l'énoncé : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$.
Sachant que $1 \text{ L} = 100 \text{ cl}$, nous en déduisons que $100 \text{ cl} = 1000 \text{ cm}^3$, donc $1 \text{ cl} = 10 \text{ cm}^3$.
Par conséquent, $380 \text{ cl} = 380 \times 10 = 3800 \text{ cm}^3$.

4. Calcul du volume du récipient (Demi-sphère)

Le Document 2 indique que le récipient est une demi-sphère de diamètre $26$ cm.
Attention : La formule du volume utilise le rayon ($r$), pas le diamètre ($d$).
Le rayon est donc : $r = 26 / 2 = 13$ cm.
La formule du volume d'une sphère complète est $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Pour une demi-sphère, on divise par 2 :
$V_{\text{récipient}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \pi \times 13^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2197$.
En prenant une approximation de $\pi \approx 3,14159$, on obtient :
$V_{\text{récipient}} \approx \frac{2}{3} \times 3,14159 \times 2197 \approx 4601,39 \text{ cm}^3$.

Synthèse et Conclusion

Nous comparons maintenant les deux volumes :
Volume du cocktail pour 20 personnes : $3800 \text{ cm}^3$.
Volume du récipient : environ $4601,39 \text{ cm}^3$.
Puisque $3800 < 4601,39$, le récipient choisi par Romane est assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes.

Les Pièges à éviter

1. **Le Diamètre vs Le Rayon** : C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet. La formule $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ exige le rayon. Utiliser 26 au lieu de 13 fausse tout le résultat.
2. **La Demi-sphère** : N'oubliez pas de diviser le volume de la sphère par 2. Le texte précise bien 'demi-sphère'.
3. **Les Unités** : Ne comparez jamais des centilitres avec des centimètres cubes directement sans conversion préalable. Utilisez toujours le tableau de conversion des volumes ou les équivalences fournies (1 L = 1 dm³).
4. **La Justification** : L'énoncé rappelle que 'toute trace de recherche sera prise en compte'. Même si vous n'arrivez pas au bout du calcul final, écrivez vos étapes de raisonnement (somme des ingrédients, calcul du rayon).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre copie :
1. Annoncez ce que vous calculez (ex: 'Calculons le volume total pour 6 personnes').
2. Citez les formules utilisées.
3. Présentez les calculs de manière claire.
4. Concluez par une phrase explicite répondant à la question posée.