Analyse de l'énoncé : La Tyrolienne et le Respect des Normes

Cet exercice du Brevet 2022, basé sur un scénario de parc aquatique, est un excellent récapitulatif des notions clés de fin de 3ème : distances, vérification d'angle via la trigonométrie, calcul de longueur avec le théorème de Pythagore et, enfin, le calcul de volume. La situation est modélisée par un triangle rectangle ABC, où A représente la cabane (5,50 m de haut) et C le pied du peuplier. L'angle de la tyrolienne (AC) est l'angle $\widehat{ACB}$.

Points clés et application des théorèmes

• Calcul de la distance au sol BC (Question 1) : Le point B, le peuplier A et le peuplier C sont alignés horizontalement au sol. La distance BC correspond à la somme des trois segments au sol : distance chêne-piscine, longueur de la piscine, et distance piscine-peuplier.
• Vérification de la réglementation (Question 2) : Nous devons utiliser la Trigonométrie. Dans le triangle ABC rectangle en B, l'angle d'inclinaison $\widehat{ACB}$ est déterminé par la tangente : $\tan(\widehat{ACB}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AB}{BC}$. Le résultat doit être comparé à $30\degres{}$.
• Calcul de la longueur de câble AC (Question 3) : C'est une application directe du Théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
• Position de Lya (Question 4 - Théorème de Thalès ou Triangles Semblables) : C'est la partie la plus délicate. Lya mesure 1,50 m et touche l'eau (profondeur 1,60 m). Pour simplifier le modèle (comme souvent au DNB), nous cherchons la distance $DC$ où le point $P$ sur le câble AC a une certaine hauteur $H_P$. En utilisant le fait que les triangles formés par le câble sont semblables, si l'on ignore l'ambiguïté de la profondeur de la piscine, la hauteur $H_P$ du câble au-dessus de $D$ est proportionnelle à la distance $DC$. Nous utilisons $\frac{H_P}{AB} = \frac{DC}{BC}$.
• Volume (Question 5) : Application de la formule du volume d'un pavé droit.

Détail du calcul de BC (Q1) :
BC = 12,20 m (avant piscine) + 6 m (piscine) + 1,80 m (après piscine) = 20 m. Cette vérification est essentielle car elle est la base de tous les calculs suivants (Trigonométrie et Pythagore).

Conformité de l'angle (Q2) :
$\tan(\widehat{ACB}) = \frac{5,50}{20} = 0,275$.
$\widehat{ACB} = \arctan(0,275) \approx 15,35\degres{}$. Puisque $15,35\degres{} < 30\degres{}$, la tyrolienne est bien conforme à la réglementation en vigueur.

Formules à retenir pour cet exercice

Pour l'angle $\alpha$ : $\tan(\alpha) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$.
Pour l'hypoténuse $c$ dans un triangle rectangle : $c^2 = a^2 + b^2$.
Volume du parallélépipède : $V = L \times l \times h$.