Analyse de l'énoncé

Cet exercice du Brevet 2016 est un excellent cas d'étude qui mélange trois notions fondamentales de la classe de 3ème : le calcul d'aires, l'utilisation du Théorème de Thalès (ou la proportionnalité des figures semblables), et les grandeurs composées (gestion budgétaire basée sur une surface).

La figure proposée montre une configuration de Thalès classique où les points P, A, R sont alignés et les points P, S, C sont alignés. Il est crucial, pour pouvoir calculer les aires demandées, de faire l'hypothèse (standard dans ce type d'exercice DNB et fortement suggérée par les marquages sur le dessin) que les segments (AS) et (RC) sont parallèles. Par ailleurs, la présence d'un angle droit (marqué ou implicite au niveau de la hauteur AS par rapport à la base PR) est nécessaire pour calculer l'aire de la zone de jeux PAS.

Points clés et Méthodologie

• Étape 1 : Hypothèses géométriques. Nous supposons que le segment (AS) est perpendiculaire à (PR) et que (AS) est parallèle à (RC). Cela fait de la zone PAS un triangle rectangle en A.
• Étape 2 : Calcul de l'aire PAS (Zone de jeux). L'aire d'un triangle rectangle est donnée par $(base imes hauteur) / 2$. Nous avons $PA = 30$ m et $AS = 18$ m. $Aire(PAS) = (30 imes 18) / 2 = 270 ext{ m}^2$.
• Étape 3 : Grandeurs composées (Budget). Pour couvrir $270 ext{ m}^2$ avec des sacs couvrant $140 ext{ m}^2$ chacun, nous calculons le nombre de sacs nécessaires : $270 / 140 \approx 1,93$. Il faut donc acheter 2 sacs entiers. Le budget sera $2 imes 13,90 ext{ €} = 27,80 ext{ €}$.
• Étape 4 : Utilisation de Thalès pour le skatepark RASC. Le skatepark RASC est un trapèze dont l'aire se trouve par soustraction : $Aire(RASC) = Aire(PRC) - Aire(PAS)$. Nous devons d'abord trouver les dimensions du grand triangle PRC. Le rapport de réduction $k$ est donné par $k = PA/PR = 30 / (30+10) = 30/40 = 3/4$.
• Étape 5 : Calcul de RC. Grâce à Thalès, $AS/RC = 3/4$. Donc $RC = AS / (3/4) = 18 imes (4/3) = 24 ext{ m}$.
• Étape 6 : Calcul de l'aire PRC. Si AS est la hauteur pour PAS, alors RC est la hauteur pour PRC (dans le cas où l'angle en R ou C est droit). En considérant PR comme la base, $Aire(PRC) = (PR imes RC) / 2 = (40 imes 24) / 2 = 480 ext{ m}^2$.
• Étape 7 : Aire du skatepark. $Aire(RASC) = 480 - 270 = 210 ext{ m}^2$.

Cet exercice démontre l'importance de savoir interpréter un schéma géométrique et d'appliquer correctement le Théorème de Thalès non seulement sur les longueurs, mais aussi pour déduire les aires des figures semblables.