Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, constitue une excellente introduction à la modélisation par les suites arithmétiques étudiées en Première Spécialité. Le problème nous demande de comparer deux investissements initiaux (le prix d'achat d'un véhicule) et leurs coûts de fonctionnement annuels respectifs (le carburant). Pour un élève de Première, cet exercice permet de manipuler des données réelles et de traduire un problème économique en une inéquation mathématique simple.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser la notion de proportionnalité pour le calcul de la consommation totale, ainsi que la modélisation de l'évolution d'une grandeur sur plusieurs années. En classe de Première, nous pouvons poser :
- $u_n = 21550 + 1957n$ comme le coût total de la version Essence après $n$ années.
- $v_n = 23950 + C_{diesel} imes n$ comme le coût total de la version Diesel après $n$ années.
Il s'agit ici de deux suites arithmétiques dont on cherche le point d'intersection ou le seuil de rentabilité.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Complétion du tableau :
Pour la version Diesel, calculons d'abord la consommation annuelle en litres. M. Durand parcourt $22300$ km par an. La consommation est de $5,2$ L pour $100$ km.
Calcul : $(22300 / 100) imes 5,2 = 223 imes 5,2 = 1159,6$ Litres.
Calculons ensuite le budget annuel de carburant : $1159,6 imes 1,224 \approx 1419,35$ € (arrondi au centime).
2. Calcul du seuil de rentabilité :
- Différence de prix d'achat : $23950 - 21550 = 2400$ €. C'est le surcoût initial du Diesel.
- Économie annuelle réalisée sur le carburant : $1957 - 1419,35 = 537,65$ €.
Pour trouver dans combien d'années l'économie compense le surcoût, on résout l'inéquation $537,65 imes n \ge 2400$.
En isolant $n$, on obtient : $n \ge 2400 / 537,65 \approx 4,46$.
Puisque $n$ doit être un nombre entier d'années, il faudra attendre 5 ans pour que la version Diesel devienne plus avantageuse financièrement que la version Essence.
Perspectives pour la Première Spécialité
Dans un contexte de Spécialité Mathématiques, on pourrait aller plus loin en introduisant une variation annuelle des prix du carburant (suites géométriques) ou en étudiant la fonction affine associée $f(x) = 537,65x - 2400$ pour déterminer le zéro de la fonction.