Analyse de l'énoncé et Compétences Évaluées
Cet exercice, issu du Brevet 2016 (Métropole), est un excellent exemple de l'approche "Prise d'initiatives" et "Hors programme" en Géométrie plane. Il ne s'agit pas d'appliquer une formule classique, mais de suivre avec rigueur un algorithme de construction géométrique complexe (le tracé du pentagramme). Cette méthode, d'une grande précision, permet de découvrir les propriétés du pentagone régulier.
Les compétences testées sont la capacité à interpréter des instructions, à utiliser les outils de construction (règle, compas) avec précision, à traduire le langage courant en vocabulaire mathématique adapté, et enfin, à mobiliser des théorèmes clés de la géométrie, comme celui de l'angle inscrit.
Résolution Détaillée
1. Construction (Question 1)
La réussite de cette question dépend de la précision de vos tracés. Les premières étapes (1 à 4) permettent de déterminer la longueur du côté du pentagone régulier (la longueur AM). Ensuite, le report de cette longueur autour du cercle permet de placer les cinq sommets E, F, G, H, I. Le pentagramme s'obtient en reliant les sommets « de deux en deux » (EG, GI, IF, FH, HE).
2. Vocabulaire Mathématique (Question 2)
La consigne 3 de la fiche technique utilise un langage courant : « Placer la pointe du compas sur J, placer le crayon sur C et tourner. »
En termes mathématiques rigoureux, cela signifie : « Tracer le cercle de centre J et de rayon [JC] » ou « Tracer l'arc de cercle de centre J passant par C ». Il est essentiel d'identifier le centre et le rayon pour une description géométrique précise.
3. Propriétés Géométriques (Question 3)
Anaïs observe que $\widehat{\text{EGI}}$ et $\widehat{\text{EHI}}$ sont égaux. Est-ce toujours le cas ? Oui. La méthode de construction garantit que le pentagone EFGHI est régulier, et donc que les sommets E, F, G, H, I sont des points du cercle et définissent des arcs égaux.
Les angles $\widehat{\text{EGI}}$ et $\widehat{\text{EHI}}$ sont des angles inscrits dans le cercle de centre O. Pour démontrer leur égalité, il suffit d'identifier l'arc qu'ils interceptent :
- L'angle $\widehat{\text{EGI}}$ est formé par les cordes [EG] et [GI]. Il intercepte l'arc mineur EI.
- L'angle $\widehat{\text{EHI}}$ est formé par les cordes [EH] et [HI]. Il intercepte également l'arc mineur EI.
D'après le théorème de l'angle inscrit, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont nécessairement égaux. L'observation d'Anaïs est donc correcte pour tous les pentagrammes construits avec cette méthode, quel que soit le rayon initial.