Analyse de l'énoncé et traduction algébrique
Cet exercice est un classique du Brevet portant sur les Programmes de calculs, une compétence essentielle pour la transition vers l'algèbre. La première étape cruciale consiste à traduire la suite d'instructions arithmétiques en une expression littérale générale.
Soit $x$ le nombre entier positif choisi au départ. Le programme de calcul se décompose comme suit :
- Choisir un nombre : $x$
- Ajouter 1 : $x + 1$
- Calculer le carré du résultat : $(x + 1)^2$
- Enlever le carré du nombre de départ : $R = (x + 1)^2 - x^2$
Pour la question 1, l'application numérique pour $x=3$ sert de vérification préliminaire : $R = (3+1)^2 - 3^2 = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7$. Le résultat est bien 7.
Vérification et distinction entre exemple et démonstration
La partie 2 de l'exercice est la plus riche pédagogiquement, car elle demande de distinguer une vérification sur des exemples (Q2.a) d'une preuve générale (Q2.b).
Pour vérifier les affirmations 1 et 2 avec les nombres 8 et 13, on calcule les résultats :
- Si $x=8$ : $R = (8+1)^2 - 8^2 = 81 - 64 = 17$. L'affirmation 1 (chiffre des unités est 7) est vraie, et l'affirmation 2 ($8+9=17$) est vraie.
- Si $x=13$ : $R = (13+1)^2 - 13^2 = 14^2 - 13^2 = 196 - 169 = 27$. L'affirmation 1 est vraie, et l'affirmation 2 ($13+14=27$) est vraie.
Cependant, le fait que ces affirmations soient vraies pour 8 et 13 ne garantit pas qu'elles le sont pour tout nombre de départ.
Démonstration algébrique (La clé de l'exercice)
Pour déterminer la validité générale des affirmations, nous devons simplifier l'expression littérale du résultat $R$ :
$$R = (x + 1)^2 - x^2$$
Nous utilisons l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ou, plus rapidement, la différence de deux carrés $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
- **Méthode 1 (Développement) :** $$R = (x^2 + 2x + 1) - x^2 = 2x + 1$$
- **Méthode 2 (Différence de carrés) :** $$R = [(x+1) - x] imes [(x+1) + x] = [1] imes [2x + 1] = 2x + 1$$
Le résultat du programme est toujours $2x + 1$.
Points clés sur les affirmations (Q2.b) :
1. **Affirmation 2 (Vraie) :** Le résultat $2x + 1$ peut s'écrire $x + (x+1)$. C'est la somme du nombre de départ ($x$) et du nombre qui le suit ($x+1$). Cette affirmation est **toujours vraie**, quel que soit l'entier positif $x$ choisi.
2. **Affirmation 1 (Fausse) :** Le résultat $2x + 1$ a-t-il toujours 7 comme chiffre des unités ? Si $x=5$, $R=2(5)+1=11$. Si $x=6$, $R=2(6)+1=13$. Le chiffre des unités dépend du chiffre des unités de $x$. Elle est donc **fausse** en général, car 7 n'est obtenu que lorsque le chiffre des unités de $x$ est 3 ou 8.