Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la géométrie dans l'espace, plus précisément sur l'étude d'un tronc de cône de révolution. La manche à air présentée ici est modélisée par un cône dont on a sectionné la pointe parallèlement à sa base. Ce type de problème est classique pour évaluer la capacité à passer d'une vision 3D à des configurations planes (triangles) pour appliquer les théorèmes fondamentaux du collège et du lycée.

Points de vigilance et notions de cours

• Configuration de Thalès : La section du cône par un plan parallèle à la base crée une réduction. Le rapport des longueurs entre le petit cône (sommet S) et le grand cône est le facteur de réduction $k$.
• Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer la hauteur $SO$ à partir de la génératrice et du rayon de la base.
• Calcul de Volume : Il faut se rappeler que le volume d'un tronc de cône s'obtient par la soustraction : $V_{tronc} = V_{grand} - V_{petit}$.
• Unités et arrondis : Attention à la précision demandée (centimètre près pour la longueur, centimètre cube pour le volume).

Correction Détaillée

1. Démontrer que $SB = 480$ cm :

Dans le triangle $SOB$, les droites $(OB)$ et $(O'B')$ sont parallèles car le plan de section est parallèle à la base. Les points $S, O', O$ d'une part et $S, B', B$ d'autre part sont alignés. D'après le théorème de Thalès, on a :
$$\frac{SB'}{SB} = \frac{SO'}{SO} = \frac{O'B'}{OB}$$

On sait que $OB = AB / 2 = 60 / 2 = 30$ cm et $O'B' = A'B' / 2 = 30 / 2 = 15$ cm. Le rapport de réduction est donc $k = 15 / 30 = 0,5$.
Comme $SB' = SB - BB'$, on a $\frac{SB - 240}{SB} = 0,5$.
En résolvant : $SB - 240 = 0,5SB \implies 0,5SB = 240 \implies SB = 480$ cm.

2. Calculer la longueur $SO$ :

Le triangle $SOB$ est rectangle en $O$. D'après le théorème de Pythagore :
$SO^2 + OB^2 = SB^2$
$SO^2 + 30^2 = 480^2$
$SO^2 = 230400 - 900 = 229500$.
$SO = \sqrt{229500} \approx 479,06$.
La longueur $SO$ est d'environ 479 cm.

3. Calcul du volume de la manche à air :

Le volume du grand cône est : $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 30^2 \times 479,06$.
Le petit cône est une réduction du grand de rapport $k = 0,5$. Son volume est donc $V_2 = k^3 \times V_1 = (0,5)^3 \times V_1$.
Le volume du tronc est $V = V_1 - V_2 = V_1(1 - 0,5^3) = V_1 \times 0,875$.
$V = 0,875 \times (\frac{1}{3} \times \pi \times 900 \times 479,06) \approx 395059$ cm³.