Analyse de l'énoncé : La modélisation au service du sport
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent support de révision pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en modélisation, une thématique centrale du programme de lycée. L'enjeu est de transformer des données réelles (vitesse, distance, temps, morphologie) en une décision binaire : participer ou non au marathon.
L'énoncé se décompose en deux phases : une validation géométrique d'un modèle (la piste d'athlétisme) et une application numérique de conditions logiques (les tableaux de l'indice de Cooper). Pour un élève de Première, l'intérêt réside dans la gestion rigoureuse des unités et l'interprétation d'un algorithme de classification implicite.
Points de vigilance et prérequis
- Géométrie de la piste : Il faut identifier que la piste est un "stade", composé d'un rectangle (deux longueurs) et de deux demi-cercles formant un cercle complet. La formule du périmètre $P = \pi \times d$ est ici indispensable.
- Conversion des unités : C'est le piège classique. Mathéo court à une vitesse exprimée en km/h alors que le test dure 12 minutes. Il faut soit convertir le temps en heures ($12 min = 0,2 h$), soit la vitesse en m/min.
- Lecture de données : Le tableau de l'indice de Cooper est une structure de données complexe. Il faut croiser trois critères : le sexe, la tranche d'âge et l'intervalle de distance.
Correction détaillée et guide de résolution
Question 1 : Longueur de la piste
La piste est composée de deux segments rectilignes de 109 m chacun et de deux virages qui forment un cercle de diamètre 58 m. La longueur totale $L$ se calcule ainsi :
$L = (2 \times 109) + (\pi \times 58)$
$L = 218 + 58\pi \approx 218 + 182,21 \approx 400,21$ mètres.
La piste mesure donc bien environ 400 mètres, ce qui est la norme standard pour une piste d'athlétisme.
Question 2 : Détermination de la participation
Pour participer, l'indice doit être au moins "moyen". Analysons les deux profils :
Cas d'Adèle :
- Âge : 31 ans (Tranche : De 30 à 39 ans).
- Performance : 6 tours et 150 mètres.
- Distance calculée : $d = 6 \times 400 + 150 = 2550$ mètres.
- Lecture du tableau Femmes : Pour 30-39 ans, une distance supérieure à 2500 m correspond à un indice "Très bon".
Conclusion : Adèle participera au marathon.
Cas de Mathéo :
- Âge : 27 ans (Tranche : Moins de 30 ans).
- Performance : Vitesse de $13,5$ km/h pendant 12 minutes.
- Calcul de la distance : $12$ min correspondent à $0,2$ heure ($12/60$).
- $d = v \times t = 13,5 \times 0,2 = 2,7$ km, soit 2700 mètres.
- Lecture du tableau Hommes : Pour moins de 30 ans, 2700 m se situe dans l'intervalle [2401 ; 2800], ce qui correspond à l'indice "Bon".
Conclusion : Mathéo participera également au marathon.
Cet exercice souligne l'importance de la précision numérique : un simple arrondi prématuré sur la longueur de la piste pourrait, dans des cas limites, fausser l'indice de forme. En Première Spécialité, cette rigueur est le socle de l'analyse mathématique.