Analyse de l'énoncé
L'exercice porte sur la géométrie dans l'espace, plus précisément sur l'étude d'une pyramide régulière à base carrée. Il s'agit de déterminer si la hauteur de cette pyramide est inférieure à 50 cm. Pour cela, il faut calculer la hauteur de la pyramide en utilisant les informations fournies : la longueur du côté de la base carrée (30 cm) et la longueur des arêtes latérales (55 cm).
Points de vigilance
Les notions clés pour résoudre cet exercice sont :
- Pyramide régulière : Comprendre la définition (base carrée, arêtes latérales de même longueur, la hauteur passe par le centre de la base).
- Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer la hauteur. Il faudra l'appliquer dans un triangle rectangle formé par la hauteur, une demi-diagonale de la base et une arête latérale.
- Calcul de la diagonale d'un carré : La diagonale du carré de base est nécessaire pour déterminer la longueur de la demi-diagonale.
Correction détaillée ou guide de résolution
1. Calcul de la diagonale de la base :
Soit ABCD la base carrée de la pyramide. Le centre O est l'intersection des diagonales. La diagonale AC peut être calculée avec le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. AC² = AB² + BC² = 30² + 30² = 1800. Donc AC = √1800 = 30√2 cm. La demi-diagonale AO = AC/2 = 15√2 cm.
2. Calcul de la hauteur de la pyramide (SO) :
Considérons le triangle SOA, rectangle en O. On applique le théorème de Pythagore: SA² = SO² + AO². On connait SA = 55 cm et AO = 15√2 cm. Donc : SO² = SA² - AO² = 55² - (15√2)² = 3025 - 450 = 2575. Par conséquent, SO = √2575 ≈ 50.74 cm.
3. Conclusion :
La hauteur de la pyramide est d'environ 50.74 cm. Comme la hauteur de la vitrine réfrigérée est de 50 cm, le présentoir ne peut pas être placé dans la vitrine. La réponse à la question est non.