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Exercice Première Spécialité - 2016 - Ex 4 : Géométrie et Modélisation

1 juin 2016 Troisième (Brevet)

Révise la géométrie avec l'inspecteur G ! 🚁

Plonge dans une mission en plein Himalaya et teste tes compétences en géométrie plane. Cet exercice est parfait pour maîtriser :

  • Le théorème de Pythagore et sa réciproque.
  • La puissance du théorème de Thalès en situation réelle.
  • La modélisation de problèmes concrets et la gestion des unités.

Ne te laisse pas piéger par les calculs de l'inspecteur ! 🧠 Prépare ton bac de spécialité avec méthode et rigueur. Prêt pour le décollage ? ✨

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Ajouté par Galilee .ac le mardi 27 janvier 2026, 12:16.
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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour la Première Spécialité en ce qui concerne la modélisation géométrique et l'application des théorèmes fondamentaux dans un contexte de géométrie repérée ou plane. Le problème nous place dans une situation concrète : le calcul de la distance totale d'un parcours composé de plusieurs segments (AB, BC, CD, DE, EF) pour en déduire la consommation de carburant d'un hélicoptère.

Points de vigilance et notions requises

  • Théorème de Pythagore : Utilisé pour identifier la nature des triangles (réciproque) et calculer des longueurs manquantes.
  • Théorème de Thalès : Indispensable pour calculer la longueur du segment [DE] grâce au parallélisme de (DE) et (CF).
  • Projections orthogonales : La compréhension des propriétés des rectangles (ABCH et ABGF) est cruciale pour déterminer les longueurs des segments horizontaux.
  • Unités : Attention à la conversion des mètres en kilomètres (750 m = 0,75 km).

Correction détaillée et guide de résolution

Pour calculer la longueur totale du parcours $L = AB + BC + CD + DE + EF$, procédons étape par étape :

  1. Calcul de BC : Dans le triangle ACF, on vérifie que $AC^2 + CF^2 = 7,5^2 + 10^2 = 56,25 + 100 = 156,25$. Or $AF^2 = 12,5^2 = 156,25$. Par la réciproque du théorème de Pythagore, ACF est un triangle rectangle en C. Dans le rectangle ABCH, $BC = AH$. En utilisant les relations métriques dans le triangle rectangle (ou en plaçant les points dans un repère), on trouve $AH = AC^2 / AF = 56,25 / 12,5 = 4,5$ km. Donc $BC = 4,5$ km.
  2. Calcul de CD : Comme ABGF est un rectangle, $BG = AF = 12,5$ km. On sait que $GC = BG - BC = 12,5 - 4,5 = 8$ km. On nous donne $DG = 7$ km. Ainsi, $CD = GC - DG = 8 - 7 = 1$ km.
  3. Calcul de DE : Dans le triangle GCF, les points G, D, C et G, E, F sont alignés. Puisque $(DE) // (CF)$, le théorème de Thalès donne : $GD/GC = DE/CF$. Soit $7/8 = DE/10$, d'où $DE = (7 \times 10) / 8 = 8,75$ km.
  4. Total du parcours : $L = 6 + 4,5 + 1 + 8,75 + 0,75 = 21$ km. La première question est validée.

Analyse de la consommation

Le pilote consomme 1,1 L par km. Pour 21 km, la consommation totale est de $21 \times 1,1 = 23,1$ Litres. L'inspecteur G affirme que 20 L suffiront. Or, $23,1 > 20$. Conclusion : Le pilote ne doit pas avoir confiance en l'inspecteur G, car il risque la panne sèche avant d'atteindre sa destination.