Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales de modélisation algébrique et de géométrie plane. L'objectif est double : d'une part, traduire un énoncé narratif en équations mathématiques simples (système du premier degré), et d'autre part, comparer des grandeurs géométriques (aires) issues de formes différentes (disque et carré).
En classe de Première, ce type d'exercice permet de consolider la rigueur de rédaction et de vérifier la maîtrise des formules de base avant d'aborder des problèmes d'optimisation plus complexes faisant intervenir le second degré ou la dérivation.
Points de vigilance et notions requises
- Modélisation : Il est crucial de bien définir les inconnues dès le début du raisonnement pour éviter toute confusion entre le prix de la pizza ronde et celui de la pizza carrée.
- Géométrie : La confusion classique entre diamètre et rayon doit être évitée. Pour la pizza ronde, le rayon est $r = 34 / 2 = 17$ cm.
- Formule de l'aire : L'aire d'un disque est donnée par $\pi \times r^2$. L'aire d'un carré est donnée par $c^2$.
- Approximation : Pour comparer les parts à la question 2, une valeur approchée précise est nécessaire, bien que le calcul exact puisse être utilisé pour démontrer la supériorité d'une aire sur l'autre.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du prix de chaque pizza
Soit $x$ le prix en euros de la pizza ronde. Selon l'énoncé, la pizza carrée coûte 1€ de plus, son prix est donc $x + 1$.
Pierre achète une pizza de chaque sorte pour un total de 14,20€. Nous pouvons poser l'équation suivante :
$x + (x + 1) = 14,20$
$2x + 1 = 14,20$
$2x = 13,20$
$x = 6,60$
La pizza ronde coûte donc 6,60 € et la pizza carrée coûte 7,60 €.
2. Comparaison de la taille des parts
Il s'agit de comparer l'aire d'une part de pizza ronde (1/8ème de la surface totale) et l'aire d'une part de pizza carrée (1/9ème de la surface totale).
- Pizza ronde : Le diamètre est de 34 cm, donc le rayon $r = 17$ cm. L'aire totale est $A_{ronde} = \pi \times 17^2 = 289\pi \approx 907,92$ cm². L'aire d'une part est $\frac{907,92}{8} \approx 113,49$ cm².
- Pizza carrée : Le côté est de 34 cm. L'aire totale est $A_{carree} = 34^2 = 1156$ cm². L'aire d'une part est $\frac{1156}{9} \approx 128,44$ cm².
En comparant les deux résultats ($128,44 > 113,49$), on conclut que les parts les plus grandes se trouvent dans la pizza carrée.