Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Amerique du Sud 2016, propose une application concrète de la géométrie plane dans l'espace. Bien que d'apparence simple (niveau collège), il constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité sur la modélisation géométrique et l'utilisation de la géométrie repérée ou des configurations classiques pour résoudre des problèmes de mesure indirecte. L'objectif est de déterminer la hauteur $SC$ de la célèbre statue du Cristo Redentor à Rio de Janeiro en utilisant les données fournies par l'alignement des points et les distances au sol.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs éléments fondamentaux doivent être maîtrisés :

• Homogénéité des unités : Il est crucial de convertir toutes les mesures dans la même unité. Ici, la distance entre Magali et Julien est donnée en centimètres ($50\text{ cm}$), alors que les autres distances sont en mètres. On posera donc $50\text{ cm} = 0,5\text{ m}$.
• Configuration de Thalès : L'alignement des sommets $S$ et $T$ avec le point de vue $M$, combiné à la perpendicularité des structures par rapport au sol, définit deux triangles rectangles semblables : $MJT$ et $MCS$.
• Modélisation en Géométrie Repérée : En Première, on peut également traiter ce problème via un repère orthonormé $(M, \vec{i}, \vec{j})$ où $M$ est l'origine $(0;0)$. Cela permet de trouver l'équation de la droite passant par le sommet et d'en déduire les coordonnées manquantes.

Correction détaillée et Guide de résolution

Étape 1 : Modélisation des points
Plaçons-nous dans le plan vertical contenant la statue et les observateurs. Nous avons :

• $M$ : le point au sol représentant le regard de Magali.
• $C$ : le pied de la statue.
• $J$ : le pied de Julien.
• $S$ : le sommet de la statue.
• $T$ : le sommet de la tête de Julien.

Les données sont : $MC = 10\text{ m}$, $MJ = 50\text{ cm} = 0,5\text{ m}$, et $TJ = 1,90\text{ m}$. Les segments $[SC]$ et $[TJ]$ sont parallèles car tous deux perpendiculaires au sol $(MC)$.

Étape 2 : Application du théorème de Thalès
Dans les triangles $MJT$ et $MCS$, les points $M, J, C$ sont alignés ainsi que les points $M, T, S$. Comme $(TJ) \parallel (SC)$, d'après le théorème de Thalès, nous avons le rapport suivant :
$$\frac{MJ}{MC} = \frac{TJ}{SC}$$

Étape 3 : Calcul de la hauteur
En remplaçant par les valeurs numériques :
$$\frac{0,5}{10} = \frac{1,90}{SC}$$
En effectuant un produit en croix, on obtient :
$0,5 \times SC = 1,90 \times 10$
$0,5 \times SC = 19$
$SC = \frac{19}{0,5} = 38$

Conclusion : La hauteur $SC$ de la statue du Cristo Redentor (socle compris) est de $38\text{ mètres}$. Cette méthode de triangulation est historiquement celle utilisée par les géomètres pour mesurer des édifices inaccessibles.