Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de fin de collège, constitue une base fondamentale pour tout élève de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de la modélisation algébrique, une compétence transversale que l'on retrouve dans l'étude des polynômes, des suites et même des probabilités. L'objectif est de traduire un énoncé complexe en un langage mathématique rigoureux pour résoudre une situation concrète.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir ce type d'exercice en classe de Première, plusieurs réflexes doivent être acquis :

• Le choix de l'inconnue : Identifier quelle variable servira de pivot (ici, la part de Pascale simplifie les relations avec Alexis et Carole).
• La lecture active : Repérer les connecteurs logiques et les multiplicateurs ("deux fois moins", "4 de plus").
• La gestion du total : Ne pas oublier de calculer le nombre total de macarons (2 boîtes de 12 = 24).
• La vérification : En Première, l'auto-correction est essentielle. Une fois les valeurs trouvées, il faut s'assurer qu'elles satisfont toutes les conditions initiales.

Guide de résolution détaillé

Soit \(x\) le nombre de macarons mangés par Pascale.

1. Mise en équation des relations :
- Alexis a mangé 4 macarons de plus que Pascale : \(A = x + 4\).
- Pascale en a mangé deux fois moins que Carole. Cela revient à dire que Carole en a mangé deux fois plus que Pascale : \(C = 2x\).

2. Calcul du total :
Le partage porte sur deux boîtes de 12 macarons, soit \(2 \times 12 = 24\) macarons au total.

3. Construction de l'équation finale :
La somme des macarons mangés par les trois personnes doit être égale à 24 :
\(x + (x + 4) + 2x = 24\)

4. Résolution algébrique :
Regroupons les termes en \(x\) :
\(4x + 4 = 24\)
Soustrayons 4 de chaque côté :
\(4x = 20\)
Divisons par 4 :
\(x = 5\)

5. Interprétation des résultats :
- Pascale : 5 macarons.
- Alexis : \(5 + 4 = 9\) macarons.
- Carole : \(2 \times 5 = 10\) macarons.

Lien avec le programme de Première Spécialité

En Première, cette logique de résolution est le socle de l'étude des fonctions polynômes du second degré. Savoir isoler une variable et substituer des expressions permet de résoudre des systèmes d'équations plus complexes ou de déterminer les racines d'un trinôme. La capacité à modéliser un problème est l'une des six compétences majeures évaluées au baccalauréat.