Introduction aux programmes de calcul et à l'algorithmique

L'exercice 4 de la session 2025 en Métropole est un classique incontournable du Diplôme National du Brevet. Il combine trois compétences fondamentales du programme de 3ème : le calcul numérique, le calcul littéral et l'algorithmique avec Scratch. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un énoncé textuel ou d'un script informatique à une expression algébrique, et inversement. Dans cet exercice, nous confrontons deux approches : celle de Zoé (manuelle) et celle de Fred (numérique).

Analyse détaillée de la Partie A : Le programme de Zoé

La première partie repose sur l'exécution d'un programme de calcul simple. La structure est linéaire : choisir un nombre, soustraire, multiplier, ajouter.

Question 1 : Vérification numérique

Pour \(10\) comme nombre de départ :
1. Soustraire 4 : \(10 - 4 = 6\)
2. Multiplier par 2 : \(6 \times 2 = 12\)
3. Ajouter 8 : \(12 + 8 = 20\).
Le résultat est bien \(20\). Cette question sert de mise en confiance et de validation de la compréhension des étapes.

Question 2 : Manipulation des nombres relatifs

Ici, la difficulté réside dans la gestion du signe moins :
1. \(-7 - 4 = -11\) (attention : on recule de 4 sur l'axe des réels)
2. \(-11 \times 2 = -22\)
3. \(-22 + 8 = -14\).
Il est crucial de bien maîtriser les règles de priorité et les opérations sur les relatifs.

Question 3 : Passage à la généralisation (Calcul Littéral)

Pour prouver que le programme est « magique », on utilise une variable \(x\).
L'expression devient : \((x - 4) \times 2 + 8\).
En développant avec la distributivité simple : \(2x - 8 + 8 = 2x\).
Puisque le résultat final est toujours \(2x\), Zoé a raison : le résultat est systématiquement le double du nombre choisi.

Analyse détaillée de la Partie B : L'algorithme de Fred

Le passage sur Scratch demande une lecture attentive des blocs de variables. Chaque bloc « mettre résultat à » écrase la valeur précédente.

Question 4 : Traduction du script en expression littérale

Suivons le script pas à pas pour un nombre \(x\) :
1. `résultat = réponse * 4` soit \(4x\).
2. `résultat = résultat + 10` soit \(4x + 10\).
3. `résultat = résultat * 5` soit \(5 \times (4x + 10)\).
En développant \(5 \times 4x + 5 \times 10\), on obtient bien \(20x + 50\). Cette démonstration est la clé pour lier l'informatique aux mathématiques pures.

Question 5 : Résolution d'équation

Pour trouver le nombre de départ permettant d'obtenir \(75\), il faut résoudre l'équation :
\(20x + 50 = 75\)
\(20x = 75 - 50\)
\(20x = 25\)
\(x = 25 / 20 = 1,25\).
Conseil : Toujours vérifier le résultat en réinjectant 1,25 dans le programme initial.

Question 6 : Modification du script

Fred veut obtenir \(20x\) au lieu de \(20x + 50\). La différence entre les deux expressions est de \(+50\). Pour annuler cet ajout constant, il suffit de soustraire 50 à la fin du programme. La sixième ligne du script Scratch doit donc être : `mettre résultat à résultat - 50`.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

1. Les parenthèses : Lors du passage du texte à l'expression littérale (Question 3 et 4), n'oubliez pas les parenthèses lors d'une multiplication globale. Sans elles, la priorité opératoire fausse tout le résultat.
2. La rigueur sur Scratch : Ne confondez pas le bloc « ajouter à » et « mettre à ». Le premier incrémente, le second remplace.
3. Présentation : Pour le Brevet, détaillez chaque étape de calcul. Ne donnez pas seulement le résultat final, montrez au correcteur votre cheminement logique.

Pourquoi cet exercice est-il stratégique ?

Cet exercice est représentatif des nouvelles épreuves du Brevet. Il ne demande pas seulement de savoir calculer, mais de savoir modéliser. La maîtrise du calcul littéral (distributivité, réduction) associée à la logique algorithmique représente environ 15 à 20 points sur 100 lors de l'examen final. S'entraîner sur ce type de sujet garantit une base solide pour la classe de Seconde.