Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie classique, bien que tiré d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité : la maîtrise des relations métriques dans le triangle rectangle et la connaissance des propriétés du cercle. L'objectif est de calculer la longueur $AB$ dans trois configurations distinctes. Pour réussir, l'élève doit identifier les codages (angles droits, égalités de longueurs) et choisir l'outil mathématique optimal (Théorème de Pythagore, sinus/cosinus, ou formule du périmètre).

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Savoir quelle fonction utiliser entre $\sin$, $\cos$ et $\tan$. Ici, dans la figure 2, nous connaissons l'hypoténuse et cherchons le côté opposé.
• Cercle : Se rappeler que la circonférence $C = \pi \times d$.
• Pythagore : Attention à bien identifier l'hypoténuse avant d'appliquer la relation $a^2 + b^2 = c^2$.
• Unités et arrondi : Le résultat est demandé au millimètre près. Il faut donc être précis sur les calculs intermédiaires.

Guide de résolution détaillé

Figure 1 : Triangle rectangle et segments égaux

D'après le codage, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. On note la présence d'un point $J$ tel que $CJ = JA$. Cela signifie que $J$ est le milieu de l'hypoténuse $[AC]$. Les marques indiquent que $BC = CJ = JA = 6$ cm. On en déduit que $AC = 6 + 6 = 12$ cm. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow 12^2 = AB^2 + 6^2$
$144 = AB^2 + 36 \Rightarrow AB^2 = 108$
$AB = \sqrt{108} \approx 10,4$ cm.

Figure 2 : Trigonométrie dans le triangle rectangle

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Nous connaissons l'hypoténuse $BC = 36$ cm et l'angle $\widehat{ACB} = 53^\circ$. Nous cherchons le côté opposé $AB$. On utilise la relation sinus :
$\sin(\widehat{ACB}) = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sin(53^\circ) = \frac{AB}{36}$
$AB = 36 \times \sin(53^\circ) \approx 36 \times 0,7986 \approx 28,75$ cm.
Au millimètre près, $AB \approx 28,8$ cm.

Figure 3 : Périmètre du cercle

On sait que $[AB]$ est le diamètre du cercle et que la circonférence mesure 154 cm. La formule du périmètre est $P = \pi \times d$.
$154 = \pi \times AB \Rightarrow AB = \frac{154}{\pi} \approx 49,019$ cm.
Au millimètre près, $AB \approx 49,0$ cm.