Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, permet de consolider les bases du calcul de probabilités en Première Spécialité. Il porte sur une situation concrète de choix aléatoires successifs. L'enjeu est de modéliser correctement l'univers des possibles (noté $\Omega$) et d'utiliser la loi d'équiprobabilité lorsque les choix sont faits 'au hasard'.
Points de vigilance et notions requises
- Loi d'équiprobabilité : La probabilité d'un événement $A$ est définie par $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
- Événements indépendants : Pour calculer la probabilité d'une succession de deux événements (le trajet complet), on multiplie les probabilités de chaque étape, car le choix de la deuxième piste est indépendant du premier.
- Arbre de probabilités : Bien que non exigé, dessiner un arbre est une excellente stratégie pour visualiser les deux étapes du parcours de Guilhem.
Correction détaillée
1. Analyse de la première étape (Haut de station vers Restaurant) :
Le nombre total de pistes est $2 + 2 + 1 = 5$. Chaque piste a la même probabilité d'être choisie.
- a. Probabilité de la piste rouge : Il y a 2 pistes rouges sur 5 au total. Soit $R_1$ l'événement 'choisir une piste rouge'. $P(R_1) = \frac{2}{5} = 0,4$.
- b. Probabilité de la piste bleue (Restaurant vers Bas) : Dans cette deuxième étape, il y a $3 + 1 + 1 + 2 = 7$ pistes au total. Soit $B_2$ l'événement 'choisir une piste bleue'. $P(B_2) = \frac{1}{7} \approx 0,14$.
2. Probabilité d'enchaîner deux pistes noires :
Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement intersection $N_1 \cap N_2$ (Piste noire à l'étape 1 ET piste noire à l'étape 2).
- Probabilité étape 1 ($N_1$) : $P(N_1) = \frac{2}{5}$.
- Probabilité étape 2 ($N_2$) : $P(N_2) = \frac{3}{7}$.
- Comme les choix sont indépendants : $P(N_1 \cap N_2) = P(N_1) \times P(N_2) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$.
La probabilité que Guilhem enchaîne deux pistes noires est donc de $\frac{6}{35}$, soit environ $0,17$.