Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'initialement issu d'un sujet de fin de collège, pose des jalons fondamentaux pour le programme de Première Spécialité. Il aborde la gestion de stocks via l'arithmétique et l'introduction aux probabilités conditionnelles à travers des tirages successifs sans remise. En tant qu'expert, j'identifie ici une opportunité de réviser la structure d'un raisonnement probabiliste rigoureux et l'application de l'algorithme d'Euclide pour la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Points de vigilance et notions de cours requises
- Probabilité d'un événement : Savoir définir l'univers Ω et dénombrer les cas favorables par rapport aux cas possibles.
- Tirage sans remise : Comprendre que la composition de l'urne (ou de la boîte) change après le premier tirage, ce qui affecte les probabilités du second événement.
- Arithmétique et Divisibilité : Reconnaître une situation de partage équitable sans reste, ce qui nécessite l'usage des diviseurs communs.
- Algorithme d'Euclide : Maîtriser la méthode des divisions successives pour déterminer le PGCD de deux nombres de manière efficace.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Fabrication des bonbons : Pour remplir 50 boîtes contenant 10 chocolats et 8 caramels chacune, le confiseur doit prévoir :
- Chocolats : 50 × 10 = 500 bonbons.
- Caramels : 50 × 8 = 400 bonbons.
2. Probabilité du premier tirage : Une boîte contient un total de 18 bonbons (10 + 8). La probabilité que Jules tire un bonbon au chocolat est de P(C) = 10/18, ce qui se simplifie en 5/9 (environ 0,56).
3. Probabilité du second tirage (Jim) : Jim mange un bonbon, il en reste donc 17 dans la boîte.
Si Jim a mangé un chocolat (probabilité 10/18), il reste 9 chocolats et 8 caramels.
Si Jim a mangé un caramel (probabilité 8/18), il reste 10 chocolats et 7 caramels.
Pour savoir s'il est plus probable de tirer un chocolat au second tour, on utilise la formule des probabilités totales :
P(C2) = (10/18 × 9/17) + (8/18 × 10/17) = 170/306.
P(Car2) = (10/18 × 8/17) + (8/18 × 7/17) = 136/306.
P(C2) > P(Car2), il est donc plus probable d'obtenir un chocolat.
4. Optimisation des stocks (PGCD) :
a. Le confiseur a 473 chocolats. Comme 473 n'est pas un multiple de 10 (le chiffre des unités n'est pas 0), il ne peut pas constituer des boîtes de 10 chocolats en utilisant tout son stock.
b. Pour faire le maximum de boîtes identiques en utilisant tout le stock, on cherche le PGCD(473, 387).
Utilisons l'algorithme d'Euclide :
473 = 387 × 1 + 86
387 = 86 × 4 + 43
86 = 43 × 2 + 0
Le PGCD est 43. Il peut donc fabriquer 43 boîtes.
Composition : 473 / 43 = 11 chocolats et 387 / 43 = 9 caramels par boîte.