Analyse de l'énoncé et modélisation géométrique
Cet exercice de géométrie appliquée demande une lecture attentive des documents techniques fournis. Le problème central repose sur l'étude d'un triangle rectangle pour déterminer une pente et une longueur de rampant. En mathématiques de Première Spécialité, cela mobilise des compétences de modélisation du plan et d'utilisation des fonctions circulaires.
Points de vigilance et notions de cours
- Trigonométrie : La relation de la tangente (opposé/adjacent) est cruciale pour déterminer l'angle d'inclinaison.
- Théorème de Pythagore : Il est nécessaire pour passer de la projection horizontale (largeur de la véranda) à la longueur réelle du toit (hypoténuse).
- Calcul de pourcentages : L'augmentation de 5 % pour la marge d'erreur lors de la commande de matériaux est une application directe des coefficients multiplicateurs (1 + 5/100).
- Arrondis : Dans un contexte réel de chantier, on arrondit toujours à l'unité supérieure pour s'assurer d'avoir assez de matériel.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du prix au m² des tuiles Régence
Le Document 2 indique qu'il faut 19 tuiles pour couvrir 1 m² et que chaque tuile coûte 1,20 €. Le calcul est simple : 19 × 1,20 = 22,80 €. Le prix au m² est donc de 22,80 €.
2. Calcul de la pente du toit
Pour savoir si les tuiles sont compatibles, nous devons calculer l'angle DEC dans le triangle EDC rectangle en C. Tout d'abord, calculons la longueur CD : CD = BD - BC = 3,10 - 2,10 = 1,00 m. Dans le triangle EDC, on a :
tan(DEC) = CD / EC = 1,00 / 2,85.
En utilisant la calculatrice (Arctan), on trouve l'angle DEC ≈ 19,3°.
Analyse : 19,3° est supérieur à 15° (Tuile Romane) et supérieur à 18° (Tuile Régence). La pose des deux modèles est donc possible.
3. Calcul de la quantité de tuiles Romanes
D'abord, calculons la longueur du rampant ED par Pythagore : ED² = EC² + CD² = 2,85² + 1,00² = 8,1225 + 1 = 9,1225. Donc ED = √9,1225 ≈ 3,02 m. La surface du toit rectangulaire est Aire = Largeur (EF) × Longueur (ED) = 6,10 × 3,02 ≈ 18,42 m². En appliquant la majoration de 5 %, la surface à commander est : 18,42 × 1,05 ≈ 19,34 m². Enfin, avec 13 tuiles par m² : 19,34 × 13 ≈ 251,4. Mélanie doit donc commander 252 tuiles.