Analyse de l'énoncé et démarche de modélisation

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue un excellent support pour travailler la modélisation géométrique en classe de Première Spécialité. Il demande une analyse rigoureuse de documents hétérogènes (un tableau de données et un schéma légendé). L'objectif est de déterminer la hauteur du cocotier en utilisant les propriétés de la géométrie plane. En Première Spécialité, cet exercice peut être abordé sous l'angle de la géométrie repérée en plaçant le pied du cocotier à l'origine d'un repère orthonormé, ou via la trigonométrie en considérant l'angle d'inclinaison des rayons solaires.

Points de vigilance et notions requises

• Extraction de données : Il est impératif d'identifier correctement l'élève concerné. Le document 2 mentionne Moana. En consultant le document 1, on extrait sa taille (1,80 m) et le fait qu'il est né en 1997.
• Interprétation du schéma : Le schéma montre une configuration de Thalès. Les rayons du soleil sont considérés comme parallèles, ce qui implique que le cocotier et le Tiki (Moana) forment des angles droits avec le sol, créant deux triangles rectangles semblables.
• Calcul de distances : La distance n'est pas donnée en mètres mais en 'pas' (représentés par les noix de coco). Il faut compter le nombre total d'intervalles depuis le pied de l'arbre jusqu'à l'extrémité de l'ombre.

Correction détaillée du problème

Étape 1 : Récupération des informations sur Moana.
D'après le Document 1, Moana mesure 1,80 m. Les informations sur son nombre de pas sur 100 m sont secondaires ici, car l'unité de mesure utilisée dans le schéma (l'espace entre deux noix de coco) est constante.

Étape 2 : Analyse du schéma (Document 2).
Le cocotier est le segment vertical principal. L'ombre au sol s'étend jusqu'à la 10ème noix de coco (en comptant la première au pied de l'arbre comme l'origine 0). Moana (le Tiki) est placé à la 7ème noix de coco.
Soit $H$ la hauteur du cocotier et $h$ la taille de Moana ($h = 1,80$).
Soit $D$ la distance entre deux noix de coco consécutives.
La distance entre le pied du cocotier et l'extrémité de l'ombre est $10 imes D$.
La distance entre Moana et l'extrémité de l'ombre est $(10 - 7) imes D = 3 imes D$.

Étape 3 : Application du théorème de Thalès.
Comme le cocotier et Moana sont tous deux verticaux (perpendiculaires au sol), ils sont parallèles entre eux. On a donc le rapport suivant :
$\frac{H}{10D} = \frac{1,80}{3D}$
En simplifiant par $D$ (qui est une valeur non nulle), nous obtenons :
$\frac{H}{10} = \frac{1,80}{3}$

Étape 4 : Calcul final.
$H = 10 \times \frac{1,80}{3} = 10 \times 0,6 = 6$ mètres.
La hauteur du cocotier est donc de 6 mètres.

Approche 'Spécialité Mathématiques'

En Première, on peut modéliser le rayon de soleil par une fonction affine $f(x) = ax + b$. Si l'extrémité de l'ombre est à l'origine $(0,0)$, la droite passe par les points $(3, 1.80)$ et $(10, H)$. Le coefficient directeur $a$ est constant : $a = 1.80 / 3 = 0.6$. Donc pour $x=10$, $y = 0.6 \times 10 = 6$. On retrouve bien le même résultat par une approche fonctionnelle.