Analyse de l'énoncé : Probabilités et Statistiques

Cet exercice, bien qu'initialement posé en 2013, constitue une base solide pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs connaissances sur les fondements du calcul des probabilités. L'énoncé nous place dans une situation d'équiprobabilité classique : un jeu de 32 cartes parfaitement équilibré. L'élément clé ici est le tirage avec remise, ce qui garantit l'indépendance des expériences répétées, une notion centrale du programme actuel (notamment pour l'introduction à la loi binomiale).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est impératif de bien distinguer la probabilité théorique (calculée a priori selon la structure de l'espace échantillonnal) de la fréquence observée (calculée a posteriori sur un échantillon donné). En Première Spécialité, on rappelle que selon la Loi des Grands Nombres, la fréquence d'un événement tend vers sa probabilité théorique lorsque le nombre de répétitions de l'expérience devient très grand.

• Équiprobabilité : Chaque carte a la même chance d'être tirée (1/32).
• Calcul de probabilité : Rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas possibles.
• Lecture graphique : Attention à la lecture précise de l'axe des ordonnées pour déterminer les effectifs de chaque catégorie.

Correction détaillée

1. Probabilité de l'événement A :
Le jeu contient 32 cartes au total, réparties en 4 familles de 8 cartes chacune. L'événement A correspond au tirage d'un trèfle. Il y a 8 trèfles dans le jeu.
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité est définie par :
$$P(A) = \frac{\text{Nombre de trèfles}}{\text{Nombre total de cartes}} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0,25$$.

2. Calcul des fréquences :
D'après le graphique fourni pour les 24 premiers tirages :

• L'effectif pour la famille « cœur » est de 6.
• L'effectif pour la famille « trèfle » est de 8.

La fréquence se calcule par le rapport de l'effectif sur la taille de l'échantillon (n=24).
Fréquence(cœur) = $$6/24 = 1/4 = 0,25$$.
Fréquence(trèfle) = $$8/24 = 1/3 \approx 0,33$$.

3. Comparaison des chances :
Il est crucial de comprendre que les résultats obtenus lors des 24 premiers tirages (les fréquences) n'influencent pas les probabilités du tirage suivant. Puisque la carte est remise dans le jeu et que celui-ci est mélangé, chaque tirage est indépendant. La probabilité de tirer un cœur est toujours de $$8/32 = 1/4$$ et la probabilité de tirer un trèfle est également de $$8/32 = 1/4$$.
Conclusion : Arthur et Julie ont exactement la même chance de gagner.