Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue une base fondamentale pour le programme de Mathématiques en Première Spécialité. Il se concentre sur l'étude graphique d'une fonction, ici une parabole représentative d'un polynôme du second degré. L'objectif est de valider la maîtrise des concepts d'image, d'antécédent et d'extremum (minimum) à travers une lecture visuelle précise. En Première, on attend de l'élève qu'il fasse le lien entre cette courbe et la forme algébrique $f(x) = ax^2 + bx + c$. Ici, la forme de la courbe (en 'U') indique immédiatement que le coefficient de $x^2$ est positif ($a > 0$).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Lecture d'images : On part de l'axe des abscisses (x) pour rejoindre l'axe des ordonnées (y).
• Recherche d'antécédents : On trace une droite horizontale à la hauteur demandée et on repère les points d'intersection avec la courbe.
• Identification du sommet : Dans une fonction du second degré, le point le plus bas (ou le plus haut) est le sommet S de coordonnées $(\alpha ; \beta)$.
• Précision graphique : L'utilisation du quadrillage orange est essentielle pour fournir des valeurs approchées cohérentes.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Image de 2 : Pour trouver $f(2)$, on se place à l'abscisse $x = 2$. On monte verticalement jusqu'à la courbe bleue, puis on projette horizontalement vers l'axe des ordonnées. Graphiquement, on obtient $f(2) \approx 6,3$. Si l'on utilise l'expression algébrique fournie par le code source ($0,08x^2 - x + 8$), le calcul donne $0,08(4) - 2 + 8 = 0,32 + 6 = 6,32$, ce qui confirme notre lecture.

2. Antécédents de 5 : On trace la droite horizontale $y = 5$. Cette droite coupe la parabole en deux points. On lit leurs abscisses respectives sur l'axe des x. Les valeurs approchées sont $x_1 \approx 4,4$ et $x_2 \approx 8,1$. En Première, on rappellera que cela revient à résoudre l'équation $f(x) = 5$, soit $0,08x^2 - x + 3 = 0$.

3. Placement du point S : Le point S est le sommet de la parabole. Il se situe au creux de la courbe, là où la tangente serait horizontale. C'est le point de minimum local et global sur cet intervalle.

4. Coordonnées de S : Par lecture graphique, le point S semble avoir pour abscisse environ $6,25$ et pour ordonnée environ $4,9$. Formellement, l'abscisse du sommet est donnée par $\alpha = -b/(2a)$. Avec $b = -1$ et $a = 0,08$, on trouve $1 / 0,16 = 6,25$. L'ordonnée est alors $f(6,25) = 4,875$. La lecture graphique est donc très proche de la théorie.