Introduction à la Géométrie du Pentagone

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2013 (Amérique du Nord) est un grand classique des épreuves de mathématiques de 3ème. Il combine habilement la géométrie plane, les propriétés des polygones réguliers et l'usage de la trigonométrie. L'énoncé nous place dans un contexte réel : l'architecture du Pentagone aux États-Unis. Mathématiquement, cela revient à étudier un pentagone régulier inscrit dans un cercle. Comprendre comment passer des angles au centre aux longueurs des côtés est une compétence clé du cycle 4.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de l'angle au centre $\widehat{AOB}$

Dans un polygone régulier à $n$ côtés, la somme des angles au centre est de $360^\circ$. Le Pentagone possédant 5 côtés égaux, l'angle $\widehat{AOB}$ se calcule simplement en divisant $360^\circ$ par $5$. On obtient ainsi $\widehat{AOB} = 72^\circ$. C'est la première étape indispensable pour toute étude de polygone régulier.

2. Propriétés de la hauteur et du triangle isocèle

Le triangle $OAB$ est un triangle isocèle en $O$ car les segments $[OA]$ et $[OB]$ sont des rayons du cercle circonscrit ($OA = OB = 238$ m). Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal possède des propriétés particulières : elle est à la fois médiatrice de la base $[AB]$ et bissectrice de l'angle au sommet $\widehat{AOB}$.
Cela signifie que le point $M$ est le milieu de $[AB]$ et que l'angle $\widehat{AOM}$ est la moitié de l'angle $\widehat{AOB}$, soit $36^\circ$. Cette justification est cruciale pour pouvoir utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle $OMA$.

3. Utilisation de la Trigonométrie pour calculer $AM$

Pour prouver que $AM \approx 140$ m, nous nous plaçons dans le triangle $OMA$ rectangle en $M$. Nous connaissons l'hypoténuse $OA = 238$ m et l'angle $\widehat{AOM} = 36^\circ$. Nous cherchons le côté opposé à l'angle, $AM$.
La formule du sinus s'impose : $\sin(\widehat{AOM}) = \frac{AM}{OA}$. En remplaçant par les valeurs, on a $\sin(36^\circ) = \frac{AM}{238}$.
D'où $AM = 238 \times \sin(36^\circ)$. À la calculatrice, $\sin(36^\circ) \approx 0,5878$, ce qui nous donne $AM \approx 139,89$ m, soit environ $140$ m.

4. Déduction du Périmètre Total

Le périmètre du Pentagone est la somme des longueurs de ses 5 côtés égaux. Un côté est représenté par le segment $[AB]$. Comme $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $AB = 2 \times AM$.
En prenant la valeur arrondie, $AB \approx 280$ m. Le périmètre total est donc $P = 5 \times AB = 5 \times 280 = 1400$ m. Si l'on utilise la valeur exacte de $AM$ avant d'arrondir à la fin, on obtient un résultat très proche qui confirme cette dimension impressionnante du bâtiment.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans la configuration de la calculatrice : assure-toi qu'elle est bien en mode Degrés et non en Radians avant de calculer le sinus. Un autre point de vigilance concerne la bissectrice : beaucoup d'élèves oublient de diviser l'angle $\widehat{AOB}$ par deux avant d'utiliser la trigonométrie, ce qui fausse tout le raisonnement ultérieur. Enfin, n'oublie pas que $AM$ n'est que la moitié d'un côté du Pentagone.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structure ta réponse clairement. Cite toujours le triangle dans lequel tu travailles et précise qu'il est rectangle pour justifier l'emploi de la trigonométrie (SOH CAH TOA). Pour la question sur la médiatrice, mentionne bien que $OAB$ est isocèle en $O$. Une rédaction soignée montre au correcteur que tu maîtrises les propriétés géométriques fondamentales au-delà du simple calcul numérique.