Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie plane, extrait d'un sujet de 2013, mobilise des concepts fondamentaux de la géométrie de collège et de lycée. L'objectif est de déterminer une longueur inconnue en traduisant une contrainte géométrique ($BM = FD$) sous forme d'une équation algébrique. Ce type de problème est une excellente préparation pour la spécialité mathématiques, car il demande une rigueur d'analyse et une capacité à modéliser une situation.

Points de vigilance (Notions de cours)

• Parallélisme : Il faut identifier que dans le carré BCDE, le côté (BE) est parallèle au côté (CD). Par extension, le segment [BM] est parallèle à (CF).
• Théorème de Thalès : La configuration des triangles ABM et ACF (avec M sur [AF] et B sur [AC]) permet d'établir des rapports de proportionnalité.
• Mise en équation : L'utilisation d'une variable $x$ pour représenter la longueur CF simplifie l'expression de la condition $BM = FD$.

Correction détaillée

Soit $x = CF$. Puisque $F$ appartient au segment $[CD]$ de 6 cm, nous avons $0 \leq x \leq 6$.

1. Expression de FD : Comme $CD = 6$ et $F \in [CD]$, la longueur $FD$ s'écrit : $FD = 6 - x$.

2. Expression de BM via Thalès : Les points A, B, C sont alignés, tout comme A, M, F. Les droites $(BM)$ et $(CF)$ sont parallèles. On applique le théorème de Thalès dans le triangle $ACF$ :
$\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CF}$
On sait que $AB = 3$ et $AC = AB + BC = 3 + 6 = 9$.
L'égalité devient : $\frac{3}{9} = \frac{BM}{x}$, soit $\frac{1}{3} = \frac{BM}{x}$, ce qui nous donne $BM = \frac{1}{3}x$.

3. Résolution de l'équation : On cherche $x$ tel que $BM = FD$.
$\frac{1}{3}x = 6 - x$
En multipliant par 3 les deux membres de l'équation, on obtient :
$x = 3(6 - x) \implies x = 18 - 3x$
$4x = 18 \implies x = \frac{18}{4} = 4,5$.

Conclusion : La longueur $CF$ doit être de 4,5 cm pour que $BM = FD$.