Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, sollicite des compétences fondamentales attendues en Première Spécialité Mathématiques. Il se compose de trois affirmations indépendantes couvrant des domaines variés : le calcul de proportions (probabilités simples), l'arithmétique commerciale (évolutions successives) et le calcul littéral (développement de polynômes). L'objectif est de valider ou d'infirmer chaque proposition par une démonstration rigoureuse.
Points de vigilance et notions de cours
- Proportions de proportions : Pour l'affirmation 1, il est crucial de bien définir l'ensemble de référence. On travaille sur une fraction d'un reste.
- Évolutions successives : La règle d'or est que les pourcentages ne s'additionnent jamais directement. Il faut passer par les coefficients multiplicateurs.
- Identités remarquables : L'affirmation 3 nécessite la maîtrise du développement de $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$ ou l'utilisation de la forme factorisée $a^2-b^2$.
Correction détaillée
Affirmation 1 : VRAIE
Soit $N$ le nombre total d'adhérents. Les mineurs représentent $\frac{3}{4}N$. Par conséquent, les majeurs représentent $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ des adhérents.
Parmi ces majeurs, un tiers a plus de 25 ans, soit $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ de la population totale.
La part des adhérents ayant entre 18 et 25 ans correspond aux majeurs restants : $\frac{2}{3}$ des majeurs. Calculons : $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. L'affirmation est donc exacte.
Affirmation 2 : FAUSSE
Une baisse de 30% correspond à un coefficient multiplicateur de $C_1 = 1 - 0,30 = 0,70$.
Une baisse de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de $C_2 = 1 - 0,20 = 0,80$.
Le coefficient global est $C_{global} = 0,70 \times 0,80 = 0,56$.
Le taux d'évolution global est $T = 0,56 - 1 = -0,44$, soit une baisse de 44% et non 50%.
Affirmation 3 : VRAIE
Développons l'expression pour tout entier $n$ :
$(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)$
$= n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n$.
Puisque $n$ est un entier, $4n$ est par définition un multiple de 4. L'affirmation est vraie.