Introduction aux probabilités et pourcentages au Brevet

Cet exercice, issu du sujet de la zone Amérique du Nord 2013, est un cas d'école pour les élèves de 3ème. Il combine deux piliers du programme de mathématiques : les probabilités et la gestion des pourcentages de réduction. À travers une situation concrète (l'achat d'un équipement de sport), l'élève doit être capable de modéliser une expérience aléatoire simple et de calculer l'impact financier d'une remise commerciale. La maîtrise de ces notions est cruciale car elles rapportent des points facilement si le raisonnement est rigoureux et la rédaction soignée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par nous présenter un ensemble d'options d'achat : deux paires de rollers et trois modèles de casques. La première étape pour réussir l'analyse est de bien identifier l'univers des possibles, noté souvent $\Omega$.

Question 1 : Modélisation et calcul de probabilité

Caroline choisit un équipement au hasard. Cela signifie que nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. Pour calculer une probabilité, nous utilisons la formule de Laplace : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.

Listons systématiquement toutes les combinaisons possibles (les issues) et calculons le coût total pour chaque paire (Roller, Casque) :
1. Rollers Gris (87 €) + Casque 1 (45 €) = $132$ €
2. Rollers Gris (87 €) + Casque 2 (22 €) = $109$ €
3. Rollers Gris (87 €) + Casque 3 (29 €) = $116$ €
4. Rollers Noirs (99 €) + Casque 1 (45 €) = $144$ €
5. Rollers Noirs (99 €) + Casque 2 (22 €) = $121$ €
6. Rollers Noirs (99 €) + Casque 3 (29 €) = $128$ €

Le nombre total d'issues est de $2 \times 3 = 6$.
L'événement qui nous intéresse est : « l'ensemble coûte moins de 130 € ». Observons nos résultats : les issues favorables sont les numéros 2, 3, 5 et 6. Il y a donc 4 issues favorables. La probabilité est donc de $\frac{4}{6}$, ce qui se simplifie en $\frac{2}{3}$ (soit environ 0,67 ou 67%).

Question 2a : Calcul du pourcentage de réduction

Ici, nous sortons de l'aléatoire pour entrer dans le calcul commercial. Caroline s'intéresse à l'ensemble le plus cher : les rollers noirs à 99 € et le casque à 45 €.
Le prix initial sans réduction est de $99 + 45 = 144$ €.
Une réduction de 20% est appliquée. Pour calculer le nouveau prix, on peut soit calculer le montant de la remise ($144 \times 0,20 = 28,80$ €) puis le soustraire ($144 - 28,80$), soit utiliser le coefficient multiplicateur : $1 - \frac{20}{100} = 0,8$.
Calcul : $144 \times 0,8 = 115,2$. Le prix final est donc de $115,20$ €.

Question 2b : Impact sur la probabilité globale

C'est la question de synthèse qui demande de l'esprit critique. La réduction modifie-t-elle la probabilité obtenue à la question 1 ?
Rappelons que dans la question 1, le couple (Rollers Noirs + Casque à 45 €) coûtait $144$ €, ce qui était supérieur à $130$ €.
Avec la réduction, ce même couple coûte désormais $115,20$ €. Comme $115,20 < 130$, cette issue qui était auparavant « défavorable » devient maintenant « favorable ».
Le nombre d'issues favorables passe de 4 à 5. La nouvelle probabilité est donc de $\frac{5}{6}$. La réponse est donc OUI, cela modifie la probabilité.

Les Pièges à Éviter

1. Oublier des issues : L'erreur classique est de ne pas lister toutes les combinaisons. Utilisez un tableau à double entrée pour être certain de ne rien oublier.
2. Confusion sur le pourcentage : Ne faites pas l'erreur de calculer 20% uniquement sur les rollers ou uniquement sur le casque si l'énoncé précise « cet ensemble ».
3. La simplification de la fraction : Au brevet, laissez toujours votre probabilité sous forme de fraction simplifiée sauf si l'on vous demande explicitement une valeur décimale ou un pourcentage.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez la formule de la probabilité.
- Listez clairement les sommes calculées pour la question 1.
- Pour le calcul du pourcentage, écrivez bien l'opération intermédiaire ($144 \times 0,8$ ou le détail de la soustraction).
- Concluez par une phrase claire pour la question 2b en comparant explicitement $115,20$ et $130$.