Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie plane sollicite des compétences essentielles en modélisation algébrique. L'objectif est de traduire une situation géométrique concrète (calculs de périmètres de figures imbriquées) en une expression littérale, puis en une équation du premier degré. Bien que tiré d'un sujet de 2013, il constitue une excellente introduction aux fonctions et aux polynômes étudiés en Première Spécialité.

Points de vigilance et notions de cours

• Définition de la variable : Il est crucial de définir le domaine de validité de la variable $x$. Comme on retire deux carrés de côté $x$ sur la largeur de 24 cm, on doit avoir $2x < 24$, soit $x \in [0 ; 12]$.
• Formules de périmètre : Rappelons que le périmètre d'un carré de côté $c$ est $4c$ et celui d'un rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ est $2(L+l)$.
• Modélisation : Savoir exprimer les dimensions d'une figure résiduelle en fonction d'une inconnue.

Correction détaillée

1. Étude du cas particulier (côté = 7 cm) :

• Le périmètre d'un carré gris est $P_{gris} = 4 \times 7 = 28$ cm.
• Pour le rectangle noir, on soustrait deux fois le côté du carré aux dimensions du rectangle ABCD : $L_{noir} = 30 - (2 \times 7) = 16$ cm et $l_{noir} = 24 - (2 \times 7) = 10$ cm.
• Le périmètre du rectangle noir est donc $P_{noir} = 2 \times (16 + 10) = 52$ cm.

2. Résolution du cas général :

Soit $x$ la longueur du côté d'un carré gris. La somme des périmètres des quatre carrés gris est donnée par : $P_{4\_gris} = 4 \times (4x) = 16x$.

Le rectangle noir a pour dimensions $(30 - 2x)$ et $(24 - 2x)$. Son périmètre est :
$P_{noir} = 2 \times [(30 - 2x) + (24 - 2x)] = 2 \times (54 - 4x) = 108 - 8x$.

On cherche $x$ tel que $108 - 8x = 16x$. En isolant les termes en $x$ :
$108 = 24x \implies x = \frac{108}{24} = 4,5$ cm.

Le résultat est cohérent car $4,5$ appartient à l'intervalle $[0 ; 12]$. Il est donc possible que les périmètres soient égaux.