Analyse de l'énoncé : Modélisation et comportement d'une fonction
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue un support idéal pour réviser les fondamentaux de l'analyse fonctionnelle en Première Spécialité. Il met en scène une fonction $f$ modélisant le débit internet en fonction de la distance. Pour un élève de Première, ce type d'étude est le point de départ vers la compréhension des variations et de la dérivation. On observe une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 6,75], illustrant une perte de signal progressive. Analyser une telle courbe demande une rigueur méthodologique particulière dans la lecture des coordonnées et l'interprétation des échelles.
Points de vigilance : Échelles et unités
La principale difficulté de cet exercice réside dans la lecture précise du repère. Voici les points sur lesquels un élève doit porter son attention :
- L'axe des abscisses (Distance) : L'unité est le kilomètre. On remarque des subdivisions tous les 0,25 km. Une lecture imprécise entre deux graduations peut mener à une erreur de résultat.
- L'axe des ordonnées (Débit) : L'unité est le Mbit/s. Les graduations numérotées avancent de 5 en 5, mais des lignes horizontales sont tracées tous les 2,5 Mbit/s. Il est crucial de ne pas confondre ces paliers.
- Vocabulaire : La question 1 demande une image, la question 2 un antécédent, et la question 3 la résolution graphique d'une inéquation.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Recherche d'image (Le cas de Marie) : On cherche le débit pour une distance de 2,5 km. Sur l'axe horizontal, on repère la graduation 2,5. On remonte verticalement jusqu'à la courbe, puis on projette ce point sur l'axe vertical. On lit la valeur 10. Conclusion : Marie obtient un débit de 10 Mbit/s.
2. Recherche d'antécédent (Le cas de Paul) : On connaît le débit (20 Mbit/s) et on cherche la distance. Sur l'axe vertical, on repère 20. On trace une ligne horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend verticalement vers l'axe des abscisses. On lit la valeur 1,5. Conclusion : Paul habite à 1,5 km du central.
3. Résolution d'une inéquation (Réception TV) : La condition est $f(x) \geq 15$. On repère la valeur 15 sur l'axe des ordonnées. On observe que la courbe est au-dessus de la ligne $y = 15$ pour toutes les distances allant de 0 à 2 km. Conclusion : La distance maximum pour recevoir la télévision est de 2 km.
Perspective pour la Première Spécialité
En spécialité mathématiques, on pourrait enrichir cet exercice en cherchant une expression algébrique pour cette fonction (souvent de type exponentielle décroissante $f(x) = a \cdot e^{bx}$). On pourrait également étudier le taux de variation entre deux points pour mesurer la vitesse de dégradation du signal. La lecture graphique vue ici est l'étape indispensable avant de passer aux calculs de dérivées et à l'étude rigoureuse des sens de variation.