Analyse de l'énoncé
Cet exercice se présente sous la forme d'un Vrai/Faux argumenté, un format classique que l'on retrouve fréquemment dans les épreuves de mathématiques, y compris sous forme de QCM au baccalauréat de spécialité mathématiques. L'objectif est de tester la polyvalence de l'élève sur quatre domaines distincts : le calcul algébrique (identités remarquables), l'arithmétique élémentaire, la géométrie dans l'espace (solides) et la géométrie plane (théorème de Thalès).
Points de vigilance et notions de cours
- Identités remarquables : L'utilisation de $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ est cruciale pour simplifier les expressions contenant des racines carrées.
- Arithmétique : Bien distinguer les nombres premiers (qui n'ont que deux diviseurs) des autres entiers.
- Géométrie dans l'espace : Connaître le nombre de faces des solides usuels (polyèdres).
- Théorème de Thalès : Savoir utiliser la contraposée ou la réciproque en vérifiant l'égalité des rapports de longueurs.
Correction détaillée
Affirmation 1 : Vrai. On reconnaît l'identité remarquable $(a-b)(a+b)$. En posant $a = \sqrt{5}$ et $b = 1$, on obtient : $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$. Le nombre 4 est bien un entier naturel.
Affirmation 2 : Faux. Listons les diviseurs de 4. 4 est divisible par 1, par 2 (car $2 \times 2 = 4$) et par 4. Il possède donc trois diviseurs : {1, 2, 4}. Un nombre n'admettant que deux diviseurs (1 et lui-même) est appelé nombre premier, ce qui n'est pas le cas de 4.
Affirmation 3 : Vrai. Comptons les faces de chaque solide :
- Un cube possède 6 faces carrées.
- Une pyramide à base carrée possède 1 face pour la base et 4 faces latérales triangulaires, soit 5 faces.
- Un pavé droit (parallélépipède rectangle) possède 6 faces rectangulaires.
Le total est donc $6 + 5 + 6 = 17$ faces.
Affirmation 4 : Faux. Dans la configuration donnée, les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans cet ordre. Vérifions les rapports de longueurs issus du sommet commun O :
$OA/OC = 2,8 / 5 = 0,56$
$OB/OD = 2 / 3,5 = 20 / 35 = 4 / 7 \approx 0,571$
On constate que $OA/OC \neq OB/OD$. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
Importance pour la classe de Première
Même si ces notions sont introduites au collège, leur maîtrise parfaite est indispensable en Première Spécialité. Par exemple, la manipulation des racines carrées et des identités remarquables est omniprésente dans l'étude du Second degré pour le calcul du discriminant et des racines. De même, la rigueur dans la démonstration géométrique prépare aux chapitres sur le Produit scalaire et la Géométrie repérée dans l'espace.