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Exercice Première Spécialité - 2013 - Ex 5 : Géométrie plane et Aires

1 juin 2013 Troisième (Brevet)

Prêt à briller en Géométrie ? 🚀

Maîtriser les configurations de Thalès et les calculs d'aires est essentiel pour réussir en 1ère Spécialité. Cet exercice est un excellent entraînement pour :

  • Démontrer un parallélisme avec rigueur. 📐
  • Appliquer le théorème de Thalès en configuration 'papillon'. 🦋
  • Calculer des surfaces avec précision. 📏

Ne laisse plus la géométrie te faire peur et révise tes bases efficacement pour assurer tes notes en DS ! ✨

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Ajouté par Galilee .ac le mardi 27 janvier 2026, 12:16.
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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane qui sont essentielles pour aborder sereinement le programme de Première Spécialité, notamment dans le cadre de la géométrie repérée ou du produit scalaire. L'énoncé nous présente une figure complexe composée de points alignés et de droites perpendiculaires. L'objectif final est de calculer l'aire d'un triangle rectangle dont l'un des côtés n'est pas directement donné.

Points de vigilance et notions de cours

Pour résoudre cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

  • La propriété des perpendiculaires : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. C'est le point de départ indispensable pour débloquer la suite du raisonnement.
  • Le théorème de Thalès : La configuration en 'papillon' (ou sablier) est présente ici puisque les droites (AE) et (BC) se coupent en D et que les bases (AC) et (EB) sont parallèles.
  • Calcul d'aire : Savoir que l'aire d'un triangle rectangle est égale au produit des côtés de l'angle droit divisé par deux.

Guide de résolution détaillé

1. Identification du parallélisme : On nous indique que (AC) est perpendiculaire à (AB) et que (EB) est perpendiculaire à (AB). On en déduit immédiatement que les droites (AC) et (EB) sont parallèles.

2. Utilisation du théorème de Thalès : Les droites (AE) et (BC) sont sécantes en D. Puisque (AC) // (EB), nous pouvons appliquer le théorème de Thalès dans les triangles DAC et DEB. Le rapport de proportionnalité s'écrit :
DC / DB = AC / EB = DA / DE.

En utilisant les valeurs connues (AC = 2,4 ; DC = 1,5 ; DB = 2,5), nous obtenons l'égalité :
1,5 / 2,5 = 2,4 / EB.

Par un produit en croix, nous trouvons la longueur EB :
EB = (2,4 × 2,5) / 1,5 = 6 / 1,5 = 4 cm.

3. Calcul de l'aire du triangle ABE : Le triangle ABE est rectangle en B (car EB est perpendiculaire à AB). L'aire se calcule donc par la formule :
Aire = (Base × Hauteur) / 2 = (AB × BE) / 2.
Aire = (3,2 × 4) / 2 = 12,8 / 2 = 6,4 cm².

Conclusion

Cet exercice démontre l'importance de la rigueur dans la démonstration géométrique. Le passage par le parallélisme pour utiliser Thalès est une étape classique mais souvent oubliée par les élèves. En Première Spécialité, ces raisonnements servent de base pour des problèmes plus complexes impliquant des vecteurs ou des équations de droites.