Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, pose les bases fondamentales des évolutions successives, un concept clé du programme de mathématiques de Première Spécialité. Il introduit la notion de coefficient multiplicateur, qui est le pilier de l'étude des suites géométriques. L'énoncé nous présente une situation concrète : l'évolution du nombre de cyberacheteurs en France. On passe d'une valeur initiale à une valeur finale après une ou plusieurs hausses en pourcentage.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut impérativement maîtriser la relation entre un taux d'évolution $t$ et son coefficient multiplicateur $C$. La formule est : $C = 1 + t$. Si $t = 11\%$, alors $C = 1 + 0,11 = 1,11$.
Un point de vigilance crucial : les pourcentages ne s'additionnent pas. Une hausse de $11\%$ suivie d'une autre hausse de $11\%$ n'est pas égale à une hausse de $22\%$. Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux pour obtenir l'évolution globale.

Correction détaillée

1. Calcul du nombre de cyberacheteurs au premier trimestre 2012 :
La valeur initiale est de $28$ millions. L'augmentation est de $11\%$.
Le coefficient multiplicateur est $1 + \frac{11}{100} = 1,11$.
Calcul : $28 \times 1,11 = 31,08$.
En arrondissant à $0,1$ million près, on obtient environ 31,1 millions de cyberacheteurs au premier trimestre 2012.

2. Progression sur les deux trimestres :
Si la progression se poursuit au même rythme au deuxième trimestre, nous avons deux évolutions successives de même taux ($11\%$).
Soit $C_1 = 1,11$ le premier coefficient et $C_2 = 1,11$ le second.
Le coefficient multiplicateur global est $C_{global} = C_1 \times C_2 = 1,11 \times 1,11 = 1,11^2 = 1,2321$.
Pour retrouver le taux d'évolution global $T$, on utilise la formule $T = C_{global} - 1$.
$T = 1,2321 - 1 = 0,2321$, soit 23,21\%.
On constate bien que $23,21\% > 22\%$, ce qui illustre l'effet des intérêts composés ou des évolutions successives dans une suite géométrique de raison $q = 1,11$.