Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et spatiale essentielles pour un élève de Première Spécialité. Il demande une maîtrise de la configuration de Thalès (utilisée ici pour une démonstration de hauteur) et une capacité à manipuler des expressions algébriques pour isoler une variable, une compétence clé pour aborder les fonctions et les équations du second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Théorème de Thalès : Il est crucial d'identifier les triangles en situation de proportionnalité. Ici, les triangles $ABC$ et $AOS$ sont emboîtés avec des droites $(BC)$ et $(SO)$ parallèles (toutes deux perpendiculaires au sol).
• Manipulation de formules : L'isolation du rayon $r$ à partir de la formule du volume nécessite une rigueur algébrique : $V = \frac{\pi r^2 h}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{3V}{\pi h}$.
• Unités et arrondis : Attention à la conversion finale au décimètre près (un chiffre après la virgule en mètres).

Correction Détaillée

1. a. Démonstration de la hauteur :
Les points $A, B, O$ sont alignés ainsi que $A, C, S$. Les droites $(BC)$ et $(SO)$ sont perpendiculaires à la droite $(AO)$, elles sont donc parallèles entre elles. D'après le théorème de Thalès dans le triangle $AOS$ :
$\frac{AB}{AO} = \frac{BC}{OS}$.
Calculons $AO$ : $AO = AB + BE + EO$.
Le diamètre est de 5 m, donc le rayon $EO = 2,5$ m.
$AO = 3,2 + 2,3 + 2,5 = 8$ m.
On a alors : $\frac{3,2}{8} = \frac{1}{OS}$, d'où $OS = \frac{8 \times 1}{3,2} = 2,5$ m.
La hauteur du cône est bien de $2,50$ m.

1. b. Calcul du volume :
$V = \frac{\pi \times 2,5^2 \times 2,5}{3} = \frac{\pi \times 15,625}{3} \approx 16,36$ m³.
Le volume arrondi à l'unité est de $16$ m³.

2. Rayon minimum pour un volume de 1000 m³ :
On utilise $h = 6$ m et $V = 1000$ m³.
$1000 = \frac{\pi \times r^2 \times 6}{3} \Rightarrow 1000 = 2\pi r^2$.
$r^2 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$.
$r = \sqrt{\frac{500}{\pi}} \approx 12,615$ m.
Il faut prévoir un rayon d'environ $12,6$ mètres au minimum.