Introduction aux notions d'arithmétique et de modélisation
Cet exercice issu du sujet du Brevet 2013 (Zone Amérique du Sud) est un grand classique de l'épreuve de mathématiques de 3ème. Il combine deux compétences majeures : l'arithmétique (divisibilité et PGCD) et la résolution de problèmes via des systèmes d'équations linéaires. Bien que la résolution pure de systèmes soit parfois classée en 'hors programme' selon les évolutions récentes des référentiels, savoir modéliser un problème concret par deux inconnues reste une compétence transversale essentielle pour tout élève de troisième souhaitant exceller au lycée. L'énoncé nous place dans une situation concrète de pâtisserie où il faut organiser une production de $840$ financiers et $1176$ macarons en lots identiques, tout en gérant une contrainte de prix sur deux années consécutives.
Analyse Méthodique : Question par Question
Dans la première partie, l'objectif est de vérifier votre compréhension des diviseurs communs. La question 1.a demande d'expliquer pourquoi $840$ et $1176$ ne sont pas premiers entre eux sans calcul. C'est un test de vos connaissances sur les critères de divisibilité. Puisqu'ils se terminent respectivement par $0$ et $6$, ces deux nombres sont pairs. Ils sont donc divisibles par $2$. Rappelez-vous : deux nombres sont dits 'premiers entre eux' si leur seul diviseur commun est $1$. Ici, $2$ étant un diviseur commun, la condition n'est pas remplie.
Pour la question 1.b, on teste la possibilité de faire $21$ lots. Pour répondre, il faut vérifier si $21$ est un diviseur commun à $840$ et $1176$. Un simple calcul de division euclidienne montre que $840 / 21 = 40$ et $1176 / 21 = 56$. Comme les deux quotients sont des nombres entiers, il est tout à fait possible de constituer ces lots. Chaque lot contiendrait alors $40$ financiers et $56$ macarons.
La question 1.c est le cœur de l'arithmétique en 3ème : le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). Le pâtissier veut faire le nombre maximum de lots en utilisant tout son stock. Cela revient mathématiquement à chercher le PGCD de $840$ et $1176$. Vous pouvez utiliser l'algorithme d'Euclide ou la décomposition en facteurs premiers. Par l'algorithme d'Euclide : $1176 = 840 \times 1 + 336$ ; $840 = 336 \times 2 + 168$ ; $336 = 168 \times 2 + 0$. Le dernier reste non nul est $168$. Le nombre maximum de lots est donc $168$. Pour la composition, on divise simplement : $840 / 168 = 5$ financiers et $1176 / 168 = 7$ macarons par lot.
La seconde partie : Le système d'équations (Hors Programme)
La deuxième partie de l'exercice est plus complexe. Elle demande de trouver le prix unitaire d'un financier ($x$) et d'un macaron ($y$). Nous avons deux informations tarifaires correspondant à deux années. Cela se traduit par le système suivant :
1) $5x + 7y = 22,40$
2) $8x + 14y = 42$
Pour résoudre ce système, la méthode de combinaison linéaire est la plus efficace ici. Si l'on multiplie la première équation par $2$, on obtient $10x + 14y = 44,80$. En soustrayant la deuxième équation ($8x + 14y = 42$) de celle-ci, les $y$ s'annulent : $(10x - 8x) = 44,80 - 42$, soit $2x = 2,80$, donc $x = 1,40$. Le prix d'un financier est de $1,40$ €. Il suffit ensuite de remplacer $x$ dans l'une des équations pour trouver $y = 2,20$ €.
Les Pièges à Éviter
Attention à ne pas confondre le PGCD avec le PPCM (Plus Petit Commun Multiple), qui s'applique à des situations de cycles ou de rencontres régulières. Une autre erreur fréquente est d'oublier de justifier la réponse à la question 1.a. Citer une règle de divisibilité est impératif pour obtenir les points de rédaction. Enfin, dans la résolution du système, veillez à ne pas oublier l'unité (l'euro) dans votre phrase de conclusion. Une erreur de calcul est vite arrivée : vérifiez toujours vos résultats en remplaçant les valeurs trouvées dans les deux équations de départ.
Conseil de Rédaction pour l'Examen
Pour le Brevet, la clarté est votre alliée. Pour le PGCD, nommez explicitement la méthode utilisée (exemple : 'D'après l'algorithme d'Euclide...'). Pour les problèmes de prix, définissez clairement vos variables : 'Soit $x$ le prix d'un financier...'. Présentez vos calculs de manière aérée et encadrez vos résultats finaux. Un correcteur appréciera toujours une copie où le raisonnement logique transparaît à chaque étape, même si une petite erreur de calcul s'y glisse.