Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de Pondichéry, mobilise des compétences fondamentales de la géométrie dans l'espace indispensables au niveau Première Spécialité. Il s'agit d'étudier une pyramide à base triangulaire (tétraèdre) et d'analyser une section plane parallèle à la base. L'enjeu est de jongler entre les propriétés géométriques planes (triangle rectangle isocèle) et les volumes dans l'espace.
Points de vigilance et notions de cours
- La formule du volume : Pour une pyramide ou un cône, le volume est donné par $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la Base} \times h$. L'erreur fréquente est d'oublier le facteur $1/3$.
- Nature de la section : Lorsqu'une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, la section obtenue est une réduction de la base. Les angles sont conservés, les rapports de longueurs sont proportionnels.
- Coefficient de réduction : Si le plan passe par un point S' sur la hauteur [SA], le rapport de réduction est $k = \frac{SS'}{SA}$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du volume de la pyramide SABC :
La base est le triangle ABC, rectangle et isocèle en A. Son aire $\mathcal{A}$ est égale à :
$\mathcal{A} = \frac{AB \times AC}{2}$. Comme AB = 7,5 cm et que le triangle est isocèle, AC = 7,5 cm.
$\mathcal{A} = \frac{7,5 \times 7,5}{2} = 28,125 \text{ cm}^2$.
Le volume $V$ est donc : $V = \frac{1}{3} \times 28,125 \times 15 = 140,625$.
À l'unité près, le volume est d'environ 141 cm³.
2. Étude du bouchon (Section plane) :
a) Le plan de section étant parallèle à la base ABC, la section S'MN est une réduction du triangle ABC. Puisque ABC est rectangle et isocèle en A, S'MN est un triangle rectangle et isocèle en S'.
b) Pour calculer S'N, on utilise le rapport de réduction $k$. On sait que $k = \frac{SS'}{SA} = \frac{6}{15} = 0,4$.
Comme S'N est l'image de AC par cette réduction, on a : $S'N = k \times AC = 0,4 \times 7,5 = 3 \text{ cm}$.
3. Volume maximal de parfum :
Le volume maximal correspond au volume total de la bouteille (le contenant principal avant l'ajout du bouchon ou le volume total de la structure SABC). D'après la question 1, la capacité maximale est de 141 cm³.
Lien avec la Première Spécialité
En Première Spécialité, ces notions de géométrie pure servent de socle à la géométrie repérée. Savoir identifier des hauteurs et des bases permet de mieux appréhender les équations de plans et les calculs de distances dans des repères orthonormés de l'espace.