Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, mobilise des compétences transversales indispensables pour la classe de Première Spécialité. Il s'agit de tester la rigueur de l'argumentation mathématique à travers trois domaines : les grandeurs physiques (vitesse), l'algèbre (identités remarquables) et l'analyse de données (statistiques).

Points de vigilance et notions requises

• Conversion d'unités : Savoir passer de m/s à km/h en multipliant par 3,6.
• Calcul littéral : Maîtriser l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. L'oubli du double produit est une erreur classique.
• Statistiques : Comprendre que la moyenne et la médiane sont deux indicateurs de position distincts qui ne sont pas liés par une relation d'ordre systématique.

Correction détaillée

Affirmation 1 : Fausse.
Pour comparer les vitesses, convertissons 5 m/s en km/h. Il y a 3600 secondes dans une heure. $5 \text{ m/s} = 5 \times 3600 \text{ m/h} = 18\,000 \text{ m/h}$, soit $18 \text{ km/h}$. Les deux vitesses sont exactement égales, donc la vitesse du coureur n'est pas strictement supérieure.

Affirmation 2 : Fausse.
En utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 5$, on obtient :
$(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25$.
L'égalité proposée omet le terme central $-30x$.

Affirmation 3 : Fausse.
Il suffit de trouver un contre-exemple. Soit la série : $\{1, 10, 11\}$.
La médiane est 10. La moyenne est $(1+10+11)/3 = 22/3 \approx 7,33$. Ici, la médiane est supérieure. Mais pour la série $\{1, 2, 12\}$, la moyenne est $15/3 = 5$ et la médiane est 2. La relation dépend totalement de la répartition des données.