Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du Brevet de Pondichéry 2013 est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine habilement la géométrie dans l'espace (pyramide régulière) avec des notions fondamentales de géométrie plane (carré, triangle rectangle, théorème de Pythagore) et les propriétés des agrandissements-réductions. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à naviguer entre les différentes dimensions (longueurs en cm, aires en cm² et volumes en cm³). Les notions de Volumes, Aires et périmètres, Théorème de Pythagore et Agrandissement-réduction sont ici au cœur du sujet.

Analyse Méthodique de la Première Partie

La première question demande de vérifier l'aire de la base ABCD. Pour cela, on utilise la formule du volume d'une pyramide : $V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. Ici, on connaît le volume ($108$ cm³) et la hauteur ($9$ cm). L'équation devient $108 = \frac{B \times 9}{3}$, ce qui se simplifie en $108 = 3B$. En divisant par 3, on obtient bien $B = 36$ cm². Comme la base est un carré, son aire est $AB^2$. On en déduit $AB = \sqrt{36} = 6$ cm.

Pour le périmètre du triangle ABC, il faut d'abord identifier la nature de ce triangle. ABCD étant un carré, le triangle ABC est rectangle en B. C'est ici qu'intervient le Théorème de Pythagore. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$. Ainsi, $AC = \sqrt{72}$. En simplifiant la racine carrée, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$. Le périmètre du triangle est donc $AB + BC + AC = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}$ cm. Cette étape demande une bonne maîtrise des calculs avec les radicaux.

Analyse Méthodique de la Deuxième Partie : La Réduction

La seconde partie porte sur la pyramide SMNOP, une réduction de la pyramide initiale. On nous donne l'aire de la base réduite : $4$ cm². Pour trouver le coefficient de réduction $k$, on compare les aires : $k^2 = \frac{\text{Aire réduite}}{\text{Aire initiale}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$. Le coefficient de réduction des longueurs est donc $k = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Question 2a (Volume) : Pour calculer le volume de la pyramide réduite, on applique la règle des volumes : $V_{\text{réduit}} = k^3 \times V_{\text{initial}}$. Ici, $V_{SMNOP} = (\frac{1}{3})^3 \times 108 = \frac{1}{27} \times 108 = 4$ cm³. Une autre méthode consisterait à recalculer la hauteur réduite ($9 \times \frac{1}{3} = 3$ cm) et à utiliser la formule du volume, mais l'utilisation de $k^3$ est plus élégante et directe.

Question 2b (Le raisonnement d'Élise) : Élise pense que pour le périmètre, il suffit de diviser par 3. Elle a raison ! Puisque le périmètre est une longueur, il est multiplié par le coefficient $k = \frac{1}{3}$. Diviser par 3 revient exactement à multiplier par $\frac{1}{3}$. L'aire a été divisée par $9$ ($k^2$), le volume par $27$ ($k^3$), mais les longueurs (et donc le périmètre) ne sont divisées que par 3 ($k$).

Les Pièges à Éviter

1. Confusion des coefficients : L'erreur la plus fréquente est d'utiliser le même coefficient pour tout. Rappelez-vous : $k$ pour les longueurs (périmètre), $k^2$ pour les aires, et $k^3$ pour les volumes.
2. Unités : N'oubliez jamais de préciser les unités (cm, cm², cm³) dans vos résultats finaux.
3. Rédaction de Pythagore : Précisez toujours que le triangle est rectangle avant d'utiliser le théorème.
4. Valeur exacte vs arrondie : La question demande de montrer que le périmètre est $12 + 6\sqrt{2}$. Gardez la valeur exacte et ne donnez pas d'approximation décimale sauf si demandé explicitement.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Commencez chaque question en citant la formule utilisée. Par exemple : "D'après la formule du volume d'une pyramide...". Pour la question sur l'avis d'Élise, même si votre raisonnement est incomplet, écrivez vos étapes de recherche (calcul de $k$). Le barème du Brevet valorise souvent la démarche de l'élève face à une question ouverte ou de type "prise d'initiative".