Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'initialement issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent rappel pour un élève de Première Spécialité sur la manipulation des fonctions linéaires (proportionnalité) et la trigonométrie dans le triangle rectangle. En spécialité, ces notions sont les fondations de l'étude des vecteurs, du produit scalaire et des fonctions circulaires.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il est nécessaire de maîtriser :
- La relation de proportionnalité $y = ax$ appliquée à la physique ($P = mg$).
- Les rapports trigonométriques : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.
- La gestion des arrondis et des calculs de pourcentages.
Correction Détaillée
1. Poids sur Terre
En utilisant la formule $P = m \times g_T$ avec $m = 70$ kg et $g_T = 9,8$, on obtient :
$P = 70 \times 9,8 = 686$ Newtons (N).
2. Pesanteur sur la Lune
- a. Proportionnalité : Vérifions les rapports $\frac{P}{m}$. On a $5,1 / 3 = 1,7$ ; $17 / 10 = 1,7$ ; $42,5 / 25 = 1,7$. Le rapport est constant, le tableau est donc bien un tableau de proportionnalité.
- b. Accélération lunaire : D'après la question précédente, le coefficient de proportionnalité est $g_L = 1,7$ m/s².
- c. Comparaison : Calculons le rapport $g_T / g_L = 9,8 / 1,7 \approx 5,76$. Ce résultat est proche de 6, donc l'affirmation est vraie : on pèse environ 6 fois moins lourd sur la Lune.
3. Étude du cratère (Géométrie)
- a. Profondeur BD : Dans le triangle BCD rectangle en D, nous connaissons l'angle $\widehat{BCD} = 4,3^\circ$ et le côté adjacent $CD = 29$ km. On utilise la tangente :
$\tan(4,3^\circ) = \frac{BD}{CD} \Rightarrow BD = 29 \times \tan(4,3^\circ) \approx 2,179$.
La profondeur arrondie au dixième est de 2,2 km. - b. Diamètre du cratère : Si $CD$ représente $20\%$ du diamètre $AB$, alors :
$0,20 \times AB = 29 \Rightarrow AB = \frac{29}{0,20} = 145$.
Le diamètre du cratère est de 145 km.