Analyse de l'énoncé
Cet exercice s'appuie sur un monument emblématique pour tester les compétences de géométrie dans l'espace. La Pyramide du Louvre est définie comme une pyramide régulière à base carrée. En mathématiques de niveau Première Spécialité, l'étude de tels solides permet de réinvestir des notions fondamentales de géométrie plane dans un contexte tridimensionnel. Les données fournies sont le côté de la base (35,50 m) et la longueur des arêtes latérales (33,14 m).
Points de vigilance et notions requises
- Propriétés de la pyramide régulière : Le sommet $S$ se projette orthogonalement au centre $H$ de la base carrée. Cela signifie que le triangle $SHA$ est rectangle en $H$.
- Le Théorème de Pythagore : Il est utilisé à deux reprises. D'abord dans la base pour trouver la diagonale, puis dans le plan vertical pour trouver la hauteur.
- Calcul de la diagonale : Dans un carré de côté $a$, la diagonale mesure $a\sqrt{2}$. C'est un gain de temps précieux lors des examens.
- Gestion de l'échelle : Le facteur $1/800$ s'applique sur les longueurs réelles converties au préalable dans une unité adaptée (le cm ou le mm).
Correction détaillée
1. Calcul de la hauteur réelle de la pyramide
Soit $ABCD$ la base carrée de centre $H$ et $S$ le sommet. Nous travaillons d'abord dans la base pour déterminer $AH$, la distance entre le centre et un sommet.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 35,5^2 + 35,5^2 = 2 \times 1260,25 = 2520,5$.
$AC = \sqrt{2520,5} \approx 50,2046$ m.
Le point $H$ étant le milieu de $[AC]$, on a $AH = AC / 2 = \sqrt{2520,5} / 2 \approx 25,1023$ m.
Considérons maintenant le triangle $SHA$ rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :
$SA^2 = SH^2 + AH^2 \implies SH^2 = SA^2 - AH^2$.
$SH^2 = 33,14^2 - AH^2 = 1098,2596 - 630,125 = 468,1346$.
$SH = \sqrt{468,1346} \approx 21,636$ m.
La hauteur réelle de la pyramide est donc d'environ 21,64 mètres (arrondi au centimètre).
2. Dimensions du patron à l'échelle 1/800
Pour l'échelle, on divise les dimensions réelles par 800 :
- Côté de la base : $35,50 \text{ m} = 3550 \text{ cm}$. $3550 / 800 = 4,4375$ cm, soit environ 4,4 cm.
- Arête latérale : $33,14 \text{ m} = 3314 \text{ cm}$. $3314 / 800 = 4,1425$ cm, soit environ 4,1 cm.
Pour la construction, on trace un carré de 4,4 cm de côté, puis à l'aide d'un compas, on rapporte des arcs de cercle de 4,1 cm de rayon depuis chaque sommet de la base pour former les quatre faces triangulaires latérales.